Anàlisi de probabilitats d’efectes secundaris d’un medicament en pacients

Un laboratori afirma que un medicament causa efectes secundaris en una proporció de tres de cada cent pacients. Per contrastar aquesta informació, un altre laboratori tria cinc pacients a l’atzar i els administra el medicament. Calcula: a) La probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris. b) La probabilitat que almenys dos tinguin efectes secundaris. c) El nombre mitjà de pacients que s’espera que tinguin efectes secundaris d’un grup de 100 pacients.

Entesos, aquí tens la resposta simplificada amb els càlculs de forma seguida per al problema de la distribució binomial amb $n = 5$, $p = 0,03$ (probabilitat d’efectes secundaris), i $q = 0,97$.

a) Probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris ($P(X = 0)$)
$$P(X = 0) = \binom{5}{0} (0,03)^0 (0,97)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0,97)^5 \approx 0,8587$$
Resposta a: $0,8587$

b) Probabilitat que almenys dos pacients tinguin efectes secundaris ($P(X \geq 2)$)
Calculem $P(X \geq 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]$.

• $P(X = 0) \approx 0,8587$ (calculat abans).
• $P(X = 1) = \binom{5}{1} (0,03)^1 (0,97)^4 = 5 \cdot 0,03 \cdot (0,97)^4 \approx 5 \cdot 0,03 \cdot 0,8858 \approx 0,1329$.
• Suma: $P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0,8587 + 0,1329 = 0,9916$.
• Complement: $P(X \geq 2) = 1 – 0,9916 \approx 0,0084$.
  Resposta b: 0,0084

c) Nombre mitjà de pacients amb efectes secundaris en 100 pacients
$$E(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0,03 = 3$$
Resposta c: 3

Resposta final:
a) 0,8587
b) 0,0084
c) 3