Probabilitat de Defectes en un Lot de cargols

El $2\%$ dels cargols fabricats per una màquina presenten defectes. Si tenim un lot de $2000$ cargols, quina és la probabilitat que hi hagi menys de $50$ defectuosos? És una distribució binomial, els cargols només poden ser defectuosos o no defectuosos.

Dades:

• \( p = 0,02 \),

• \( q = 1 – p = 0,98 \),

• \( n = 2000 \)

\begin{equation}B(n,p) \to B(2000, 0,02)\end{equation}Com que \( n \) és gran, podem fer l’aproximació de la binomial a la normal.\begin{equation}n \cdot p \geq 5 \to 2000 \cdot 0,02 \geq 40\end{equation}\begin{equation}n \cdot q \geq 5 \to 2000 \cdot 0,98 \geq 1960\end{equation}Calculem la mitjana i la desviació típica de la distribució normal.\begin{equation}\mu = n \cdot p \to \mu = 2000 \cdot 0,02 = 40\end{equation}\begin{equation}\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} \to \sigma = \sqrt{2000 \cdot 0,02 \cdot 0,98} = 6,26\end{equation}\( x \) és \( B(2000, 0,02) \to \) Correcció \( x’ \) és \( N(40, 6,26) \to \) Tipifiquem \( z \) és \( N(0,1) \).\begin{equation}P(x < 50) = P(x’ \leq 49,5) = P\left(z \leq \frac{49,5 – 40}{6,26}\right) = P(z \leq 1,52) = 0,9357\end{equation}