Probabilitat Condicional en l’Extracció de Boles entre Urnes

D’una urna que conté deu boles de igual tamanys, quatre blanques i sis negres, se n’extreu aleatòriament una d’elles i es diposita en una segona urna que inicialment contenia 5 boles blanques i 4 boles negres. Una bola extreta aleatòriament de la segona urna resulta negra. ¿Què és més probable, que la bola extreta de la primera urna sigui blanca o que sigui negra?

◄ Sigui \( H_b \) el succés {la bola extreta de la primera urna és blanca}, \( H_n \) el succés {la bola extreta de la primera urna és negra} i \( N \) el succés {la bola extreta de la segona urna és negra}.Tenim:\[P\{N\} = P\{N|H_b\}P\{H_b\} + P\{N|H_n\}P\{H_n\} =\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} + \frac{5}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{46}{100}.\]Per calcular la probabilitat a posteriori \( P\{H_b|N\} \) utilitzem la fórmula (2):\[P\{H_b|N\} = \frac{P\{N|H_b\}P\{H_b\}}{P\{N\}} = \frac{16}{46}.\]Aquest resultat permet concloure que la hipòtesis «de la primera urna se’n va extreure una bola blanca» és menys forta que la hipòtesis «la bola extreta de la primera urna és negra». ▶