Estudi del radi de convergència i verificació d’una equació diferencial per a la funció de Bessel

Determineu el radi de convergència$J(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$ i proveu que és solució de l’equació$x^2 J”(x) + x J'(x) + x^2 J(x) = 0$.

Fem $u_n = \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$ i apliquem el criteri del quocient:$$\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right| = \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2(n+1)}}{\frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}} \right| = \lim_{n \to +\infty} \frac{|x|^2}{4(n+1)^2} = 0 < 1,$$per a tot $x \in \mathbb{R} \Rightarrow$ el radi de convergència de $J(x)$ és $R = +\infty$.Derivant $J(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n}$ terme a terme:$$J'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n-1}, \quad J”(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n(2n-1)}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n-2}.$$Verifiquem l’equació diferencial ordinària lineal de 2on ordre:$$x^2 J”(x) + x J'(x) + x^2 J(x) = x^2 \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n(2n-1)}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n-2} \right) + x \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n-1} \right)+ x^2 \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n} \right)$$$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n(2n-1)}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n}+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n 2n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2n}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2(n+1)}$$$$= \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n 2n(2n-1)}{2^{2n} (n!)^2}+ \frac{(-1)^n 2n}{2^{2n} (n!)^2}+ \frac{(-1)^{n-1}}{2^{2(n-1)} ((n-1)!)^2} \right) x^{2n},$$on fent el canvi d’índex $m = n+1$ en el sumatori de la tercera sèrie:$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} (n!)^2} x^{2(n+1)} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1}}{2^{2(m-1)} ((m-1)!)^2} x^{2m},$$i després substituïm de nou $m$ per $n$.Per tant:$$x^2 J”(x) + x J'(x) + x^2 J(x) =\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n 2n(2n-1)}{2^{2n} ((n-1)!)^2} + \frac{(-1)^n 2n}{2^{2n} (n!)^2} + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{2(n-1)} ((n-1)!)^2} \right) x^{2n}$$$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} ((n-1)!)^2}\left( \frac{2n(2n-1)}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{-1}{2^{-2}} \right) x^{2n}$$$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} ((n-1)!)^2}\left( \frac{4n – 2}{n} + \frac{2}{n} – 4 \right) x^{2n}$$$$= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n} ((n-1)!)^2}\left( \frac{(4n – 2) + 2 – 4n}{n} \right) x^{2n} = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$