Aproximació de la Integral amb Sèries de Potències i Control d’Error

Useu una sèrie de potències per aproximar el valor de la integral\[I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \, dx\]amb un error menor que \( 10^{-4} \).

Usant que la sèrie de potències de \( \frac{\sin x}{x} \) convergeix per a tot \( x \in \mathbb{R} \):\[I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \, dx\]\[= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \int_{0}^{1} x^{2n} \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \frac{1}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n.\]\( I \) és la suma d’una sèrie numèrica alternada on \( a_n = \frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+1)!} \) és una successió decreixent i que té límit zero. Pel criteri de Leibniz la sèrie que defineix \( I \) és convergent i, més, si sumem des de \( n = 0 \) fins \( n = N-1 \), l’error que cometem és menor que el valor absolut del primer terme \( a_N \) que no sumem.Concretament: Definim \( I_{N-1} = \sum_{n=0}^{N-1} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+1)!} \).Llavors, l’error que cometem si aproximem la suma de la sèrie \( I \) per la suma dels \( N-1 \) primers termes de la suma és més petit que:\[|I – I_{N-1}| < a_N = \frac{1}{(2N+1)\cdot(2N+1)!}.\]Si volem que l’error sigui menor que \( 10^{-4} \) hem de triar \( N \) per al qual\[a_N < 10^{-4} = \frac{1}{10000}.\]Fent \( N = 3 \) obtenim\[a_3 = \frac{1}{7 \cdot 7!} = \frac{1}{35280} < \frac{1}{10000}.\]Per tant, \( I \approx I_2 \) amb un error menor que \( 10^{-4} \), o:\[I_2 = \sum_{n=0}^{2} (-1)^n \frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+1)!} = \underbrace{\frac{1}{3 \cdot 3!}}_{n=0} + \underbrace{\frac{1}{5 \cdot 5!}}_{n=1} – \underbrace{\frac{1}{7 \cdot 7!}}_{n=2} \approx 0.9461.\]