Polinomi característic d’una matriu 2×2

Apartat a)

Trobar una matriu que tingui com a polinomi característic $p(x)=x^2+x+1$. Quantes matrius hi ha amb aquest polinomi característic?

1. Condicions. Comparant amb $x^2-(a+d)x+|A|$ cal que $$a+d=-1,\qquad |A|=ad-bc=1.$$
2. Una matriu. Prenem $a=0$, $d=-1$, $b=-1$, $c=1$: $$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad a+d=-1,\quad |A|=0\cdot(-1)-(-1)\cdot1=1.$$ Per tant, el seu polinomi característic és $x^2+x+1$.
3. Totes les matrius. Amb $d=-1-a$, la condició $ad-bc=1$ dóna $-a-a^2-bc=1$, és a dir, $bc=-(a^2+a+1)$. Si $b=0$ hauria de ser $a^2+a+1=0$, que no té solucions reals (el discriminant val $-3<0$). Per tant $b\neq0$ i $c$ queda determinada.

Apartat b)

Si $A$ té inversa, demostrau que el polinomi característic de $A^{-1}$ és $p(x)=x^2-\dfrac{a+d}{|A|}\,x+\dfrac1{|A|}$.

1. Inversa. Si $A$ té inversa, $|A|\neq0$ i $$A^{-1}=\frac1{|A|}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac d{|A|}&-\dfrac b{|A|}\\[6pt]-\dfrac c{|A|}&\dfrac a{|A|}\end{pmatrix}.$$
2. Suma de la diagonal. $$\frac d{|A|}+\frac a{|A|}=\frac{a+d}{|A|}.$$
3. Determinant. $$|A^{-1}|=\frac{da}{|A|^2}-\frac{bc}{|A|^2}=\frac{ad-bc}{|A|^2}=\frac{|A|}{|A|^2}=\frac1{|A|}.$$
4. Polinomi característic de $A^{-1}$. Aplicant la definició, $x^2-(\text{suma diagonal})\,x+|A^{-1}|$: $$p_{A^{-1}}(x)=x^2-\frac{a+d}{|A|}\,x+\frac1{|A|}.$$

Queda demostrat

Comprovació amb l’apartat a). Per a $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ ($|A|=1$, $a+d=-1$) la fórmula dóna $x^2+x+1$, i efectivament $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$ té suma diagonal $-1$ i determinant $1$.