LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Inversa d’una matriu
Inversa d’una matriu
Lemniscata · Àlgebra Lineal
Inversa d’una matriu
Mètode de Gauss-Jordan
Enunciat
Trobeu la inversa de la matriu
\[
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1\\
2 & 1 & 3\\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\]
si existeix, utilitzant el mètode de Gauss-Jordan.
Resolució
Formem la matriu ampliada \([B\mid I]\):
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\
2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
Pas 1
\(R_2\leftarrow R_2-2R_1\), \(R_3\leftarrow R_3+R_1\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 5 & -2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]
Pas 2
\(R_3\leftarrow R_3+R_2\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 5 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 6 & -1 & 1 & 1
\end{array}
\right]
\]
Pas 3
\(R_3\leftarrow\dfrac{1}{6}R_3\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -3 & 5 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 &
-\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}
\end{array}
\right]
\]
Pas 4
Eliminem l’entrada de la tercera columna de les dues primeres files:
\(R_2\leftarrow R_2-5R_3\), \(R_1\leftarrow R_1+R_3\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 &
\dfrac{5}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}\\
0 & -3 & 0 &
-\dfrac{7}{6} &
\dfrac{1}{6} &
-\dfrac{5}{6}\\
0 & 0 & 1 &
-\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}
\end{array}
\right]
\]
Pas 5
\(R_2\leftarrow-\dfrac{1}{3}R_2\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 2 & 0 &
\dfrac{5}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}\\
0 & 1 & 0 &
\dfrac{7}{18} &
-\dfrac{1}{18} &
\dfrac{5}{18}\\
0 & 0 & 1 &
-\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}
\end{array}
\right]
\]
Pas 6
Eliminem l’entrada de la segona columna de la primera fila:
\(R_1\leftarrow R_1-2R_2\)
\[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 &
\dfrac{1}{18} &
\dfrac{5}{18} &
-\dfrac{7}{18}\\
0 & 1 & 0 &
\dfrac{7}{18} &
-\dfrac{1}{18} &
\dfrac{5}{18}\\
0 & 0 & 1 &
-\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6} &
\dfrac{1}{6}
\end{array}
\right]
\]
Per tant, la inversa de \(B\) és
\[
\boxed{
B^{-1}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{18} & \dfrac{5}{18} & -\dfrac{7}{18}\\[6pt]
\dfrac{7}{18} & -\dfrac{1}{18} & \dfrac{5}{18}\\[6pt]
-\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6}
\end{pmatrix}
}
\]
Comprovació
Podem comprovar el resultat multiplicant \(B\) per la seva inversa:
\[
BB^{-1}
=
I_3
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]
Nota.
Com que el procés de Gauss-Jordan transforma el bloc esquerre
\(B\) en la matriu identitat \(I_3\), el bloc dret resultant és
precisament \(B^{-1}\).
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora
Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss www.campanadegauss.cat