Matrius ortogonals

Apartat a)

Demostrar que una matriu de la forma $R=\begin{pmatrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$, on $\alpha\in\mathbb R$, és ortogonal.

1. Transposada. $$R^t=\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha\end{pmatrix}$$
2. Producte $R\cdot R^t$. $$R\cdot R^t=\begin{pmatrix}\cos^2\alpha+\sin^2\alpha&\cos\alpha\sin\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\\\sin\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\sin\alpha&\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I,$$ perquè $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$.

$R\,R^t=I$, per tant $R^{-1}=R^t$: la matriu és ortogonal

Apartat b)

Calcular $x$ i $y$ de manera que la matriu $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&x\\0&0&y\end{pmatrix}$ sigui ortogonal.

1. Condició. Imposam $A\cdot A^t=I$, amb $$A^t=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&x&y\end{pmatrix}.$$
2. Producte. $$A\cdot A^t=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1+x^2&xy\\0&xy&y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$
3. Equacions. Igualant entrada per entrada: $$1+x^2=1,\qquad xy=0,\qquad y^2=1.$$ De la primera, $x=0$ (i llavors $xy=0$ es compleix). De la tercera, $y=1$ o $y=-1$.

Comprovació. Per a $x=0$, $A=\operatorname{diag}(1,1,y)$ amb $y=\pm1$, i clarament $A\cdot A^t=\operatorname{diag}(1,1,y^2)=I$.