Plantejament problema sistema d’equacions. EBAU Cantàbria 2022 Juny

Per poder dur a terme l’última obra que li han encarregat, una empresa de construcció necessita adquirir $400$ kg de ciment, $150$ kg de maons i $120$ kg de rajoles. Abans de fer la compra del material consulta preus en dos proveïdors, A i B. El proveïdor A li ofereix un preu de venda total de $9800$ €. El proveïdor B, que està en liquidació, li ofereix importants descomptes. En concret, baixa el preu del ciment a la meitat del que ofereix el proveïdor A, el del maó a una tercera part i el del rajol a una quarta part, la qual cosa suposa un estalvi de $6400$ € respecte al preu total de venda ofert pel proveïdor A. Se sap, a més, que el preu del kg de rajol és el doble de la suma dels preus del ciment i els maons. a) Planteja un sistema d’equacions que permeti calcular el preu (en €/kg) del ciment, el maó i el rajol al proveïdor A. b) Resoleu-lo.

a) $x$: Preu del kg de ciment, $y$: Preu del kg de maons, $z$: Preu del kg de rajoles. Plantegem el sistema d’equacions: \[ \begin{cases} 400x + 150y + 120z = 9800 \\ 400 \cdot \frac{x}{2} + 150 \cdot \frac{y}{3} + 120 \cdot \frac{z}{4} = 3400 \\ z = 2(y + x) \end{cases}\rightarrow \begin{cases}40x+15y+12z=980 \\ 20x + 5y + 3z = 340 \\ 2x + 2y – z = 0 \end{cases} \]

b) Resolvem el sistema d’equacions Anem a resoldre-ho per el mètode de Gauss: \[ A’ = \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 40 & 15 & 12 & 980 \\ 20 & 5 & 3 & 340 \end{pmatrix} \] \[ F_2 \rightarrow F_2 – 20F_1 \] \[ F_3 \rightarrow 3F_3 – 10F_1 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -25 & 32 & 980 \\ 0 & -15 & 13 & 340 \end{pmatrix} \] \[ F_3 \rightarrow 3F_3 – 5F_2 \] \[ \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -25 & 32 & 980 \\ 0 & 0 & 31 & 1240 \end{pmatrix} \] \[ \begin{cases} x = 8 \\ y = 12 \\ z = 40 \end{cases} \] El preu del kg de ciment és de 8 €/kg. El preu del kg de maons és de 12 €/kg. El preu del kg de rajoles és de 40 €/kg.