Càlcul focus i excentricitat de l’el·lipse

Trobar \(t\) tal que \(\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{25} = 1\) tingui focus \(F_1(-2\sqrt{6}; 0)\) i \(F_2(2\sqrt{6}; 0)\)

Determinem els paràmetres de l’el·lipse i trobem \(t\) perquè els focus coincideixin amb els donats.L’el·lipse té \(a = 7\) i \(b = 5\), i els focus donats són \(F_1(-2\sqrt{6}; 0)\) i \(F_2(2\sqrt{6}; 0)\).Calculem la distància focal \(c\):\[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{49 – 25} = 2\sqrt{6}\]

**Conclusió:** Els focus de l’el·lipse són:\[F_1(-2\sqrt{6}; 0), \quad F_2(2\sqrt{6}; 0)\]Això coincideix amb els focus donats.Calculem l’excentricitat:\[\varepsilon = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\]L’equació de l’el·lipse en funció de \(t\) és \(x = \pm \frac{a}{\varepsilon}\), així:\[x = \pm \frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{7}} = \pm \frac{49}{2\sqrt{6}}\]

Comprovem si els focus donats coincideixen: Com que els focus ja coincideixen, calculem \(b^2\):\[b^2 = t^2 = (a + \varepsilon x)(a – \varepsilon x) = a^2 – \varepsilon^2 x^2\]\[25 = 49 – \left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2 x^2\]\[x = \pm 7\]

Conclusió: Els valors de \(t\) que satisfan la condició són:72\[\left(\frac{\pm 7}{49}\right)^2 + \frac{y^2}{25} = 1\]

Solució \[y = \pm 5\]

Valors de \(t\): Els punts són \((7; 5)\), \((-7; -5)\), \((7; -5)\), \((-7; 5)\).