Per què la torrada cau pel costat untat? Anàlisi física del moviment de caiguda

Sovint es diu que una torrada cau de la taula pel costat untat. Aquest fenomen, tot i semblar trivial, implica conceptes físics importants. R.D. Edge i D. Steinert van demostrar que una torrada quadrada, empesa lentament fins a caure d’una taula, abandona la vora quan forma un angle de $30$º respecte a l’horitzontal, amb una velocitat angular inicial $\omega_0 = 0.956 \sqrt{\frac{g}{l}}$, on $l$ és la longitud del costat de la torrada. Suposant que la torrada comença a caure amb la cara untada cap amunt, determineu amb quina cara tocarà el terra si l’alçada de la taula és de $0.5$ m i si és de $1$ m. Considereu que $l = 0.1 \, \text{m}$, que la torrada aterra amb la cara untada cap avall si l’angle final està entre $180$º i $270$º, i que les forces de fregament amb l’aire són menyspreables.

---

Pas 1: Dades inicials

• Longitud del costat de la torrada: $l = 0.1 \, \text{m}$.
• Acceleració gravitacional: $g = 9.8 \, \text{m/s}^2$.
• Velocitat angular inicial: $\omega_0 = 0.956 \sqrt{\frac{g}{l}}$.
• Angle inicial: 30º respecte a l’horitzontal (la cara untada cap amunt).
• AlPrincipals alçades de la taula: $h = 0.5 \, \text{m}$ i $h = 1 \, \text{m}$.
• Condició per aterrar cara avall: l’angle final $\theta$ ha d’estar entre $180$º i $270$º.
• Suposem que el centre de massa de la torrada cau lliurement i que rota al voltant del seu centre.

---

Pas 2: Velocitat angular inicial

Calculem $\omega_0$:

$$\omega_0 = 0.956 \sqrt{\frac{g}{l}}$$

$$g = 9.8 \, \text{m/s}^2, \quad l = 0.1 \, \text{m}$$

$$\frac{g}{l} = \frac{9.8}{0.1} = 98 \, \text{s}^{-2}$$

$$\sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{98} \approx 9.899$$

$$\omega_0 = 0.956 \cdot 9.899 \approx 9.463 \, \text{rad/s}$$

---

Pas 3: Temps de caiguda

La torrada cau lliurement des de l’alçada $h$. El temps de caiguda es calcula amb la fórmula de la caiguda lliure:

$$h = \frac{1}{2} g t^2$$

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$$

• Per $h = 0.5 \, \text{m}$:

$$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.5}{9.8}} = \sqrt{\frac{1}{9.8}} \approx 0.319 \, \text{s}$$

• Per $h = 1 \, \text{m}$:

$$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{9.8}} = \sqrt{\frac{2}{9.8}} \approx 0.452 \, \text{s}$$

---

Pas 4: Angle de rotació

La torrada rota amb velocitat angular constant $\omega_0$. L’angle girat durant el temps $t$ és:

$$\theta = \theta_0 + \omega_0 t$$

L’angle inicial és $\theta_0 = 30^\circ = \frac{\pi}{6} \approx 0.5236 \, \text{rad}$ (cara untada cap amunt). Calculem l’angle final per a cada alçada:

• Per $h = 0.5 \, \text{m}$, $t \approx 0.319 \, \text{s}$:

$$\theta = 0.5236 + 9.463 \cdot 0.319 \approx 0.5236 + 3.019 \approx 3.543 \, \text{rad}$$

Convertim a graus:

$$\theta \approx 3.543 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 203^\circ$$

Com que $180^\circ < 203^\circ < 270^\circ$, la torrada aterra amb la cara untada cap avall.

• Per $h = 1 \, \text{m}$, $t \approx 0.452 \, \text{s}$:

$$\theta = 0.5236 + 9.463 \cdot 0.452 \approx 0.5236 + 4.277 \approx 4.801 \, \text{rad}$$

Convertim a graus:

$$\theta \approx 4.801 \cdot \frac{180}{\pi} \approx 275^\circ$$

Com que $275^\circ > 270^\circ$, la torrada no aterra amb la cara untada cap avall (està més enllà del rang).

---

Pas 5: Interpretació

• A $h = 0.5 \, \text{m}$, l’angle final és $203^\circ$, dins del rang $[180^\circ, 270^\circ]$, per tant, la torrada cau amb la cara untada cap avall.
• A $h = 1 \, \text{m}$, l’angle final és $275^\circ$, fora del rang, per tant, la torrada no cau amb la cara untada cap avall (probablement cau amb la cara untada cap amunt o en una posició intermèdia).

Aquest resultat reflecteix que el nombre de girs depèn de l’alçada de la taula i de la velocitat angular. Per a taules típiques (~0.5–0.8 m), l’angle sovint cau dins del rang que afavoreix la cara untada cap avall, explicant la percepció comuna.

---

Resposta final:

• Per $h = 0.5 \, \text{m}$: La torrada toca el terra amb la cara untada cap avall ($\theta \approx 203^\circ$).
• Per $h = 1 \, \text{m}$: La torrada no toca el terra amb la cara untada cap avall ($\theta \approx 275^\circ$).

$$\boxed{\text{0.5 m: cara untada cap avall}, \quad \text{1 m: no cara untada cap avall}}$$