Anàlisi del Moment d’Inèrcia i Distribució de Densitat de la Terra

El moment d’inèrcia de la Terra respecte al seu eix de rotació és aproximadament $8.03 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$. (a) Suposant que la Terra és gairebé esfèrica, el seu moment d’inèrcia es pot expressar com $I = C M R^2$, on $C$ és una constant adimensional, $M = 5.98 \times 10^{24} \, \text{kg}$ és la massa de la Terra, i $R = 6370 \, \text{km}$ és el radi. Determineu el valor de la constant $C$. (b) Si la massa de la Terra estigués distribuïda uniformement, $C$ seria igual a $\frac{2}{5}$. Comparant amb el valor de $C$ calculat en l’apartat (a), deduïu si la densitat de la Terra és més gran prop del nucli o prop de l’escorça.

Pas 1: Dades inicials

• Moment d’inèrcia de la Terra: $I = 8.03 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.
• Massa de la Terra: $M = 5.98 \times 10^{24} \, \text{kg}$.
• Radi de la Terra: $R = 6370 \, \text{km} = 6.37 \times 10^6 \, \text{m}$.
• Fórmula del moment d’inèrcia: $I = C M R^2$.
• Per a una esfera uniforme: $C = \frac{2}{5} = 0.4$.

(a) Determinació de la constant $C$

La fórmula del moment d’inèrcia és:

$$I = C M R^2$$

Aïllem $C$:

$$C = \frac{I}{M R^2}$$

Ara, calculem $C$:

$$C = \frac{8.03 \times 10^{37}}{5.98 \times 10^{24}\cdot \left(6.37 \times 10^6\right)^2} \approx 0.331$$

Resposta (a): El valor de la constant $C$ és:

$$\boxed{0.331}$$

(b) Comparació i distribució de densitat

Sabem que per a una esfera de densitat uniforme, el moment d’inèrcia és:

$$I = \frac{2}{5} M R^2, \quad \text{és a dir,} \quad C = \frac{2}{5} = 0.4$$

El valor calculat en l’apartat (a) és $C \approx 0.331$, que és menor que $0.4$. Analitzem què implica això:

• El moment d’inèrcia $I = C M R^2$ depèn de com es distribueix la massa respecte a l’eix de rotació. Un valor de $C$ més petit indica que la massa està més concentrada cap al centre (prop del nucli), ja que les masses més properes a l’eix contribueixen menys al moment d’inèrcia.
• Si $C < \frac{2}{5}$, la densitat de la Terra és més gran prop del nucli que prop de l’escorça, perquè una distribució uniforme (que dona $C = 0.4$) implicaria una densitat constant, i una distribució amb més massa al centre redueix el valor de $C$.
• En contrast, si $C$ fos més gran que $0.4$, indicaria que la massa està més distribuïda cap a l’escorça.

Com que $0.331 < 0.4$, concloem que la Terra té una densitat més gran prop del nucli.

Resposta (b): La densitat de la Terra és més gran prop del nucli.

$$\boxed{\text{Més gran prop del nucli}}$$