Anàlisi del Moment Angular d’una Partícula en Moviment Circular

Una partícula de massa $2$ g es mou a una velocitat constant de $3$ mm/s descrivint una trajectòria circular de radi $4$ mm. (a) Determineu la magnitud del moment angular de la partícula. (b) Si el moment angular és $L = l \hbar$, on $l$ és un nombre enter i $\hbar$ és la constant de Planck reduïda, calculeu el valor aproximat de $l$. (c) Expliqueu per què la quantització del moment angular no s’observa en la física macroscòpica.

---

Pas 1: Dades inicials

• Massa de la partícula: $m = 2 \, \text{g} = 0.002 \, \text{kg}$ (en SI).
• Velocitat: $v = 3 \, \text{mm/s} = 0.003 \, \text{m/s}$.
• Radi de la trajectòria: $r = 4 \, \text{mm} = 0.004 \, \text{m}$.
• Constant de Planck reduïda: $\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}$.

---

(a) Magnitud del moment angular

El moment angular $L$ d’una partícula en moviment circular es calcula com:

$$L = m v r$$

Substituïm els valors:

$$L = (0.002) \cdot (0.003) \cdot (0.004)$$

$$L = 0.002 \cdot 0.012 \times 10^{-3} = 2.4 \times 10^{-8} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$$

Resposta (a): La magnitud del moment angular és:

$$\boxed{2.4 \times 10^{-8} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}}$$

---

(b) Valor aproximat de $l$

Si el moment angular està quantitzat segons $L = l \hbar$, podem trobar $l$ com:

$$l = \frac{L}{\hbar}$$

Substituïm:

$$L = 2.4 \times 10^{-8} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}, \quad \hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}$$

$$l = \frac{2.4 \times 10^{-8}}{1.055 \times 10^{-34}} \approx 2.274 \times 10^{26}$$

Com que ( l ) ha de ser un nombre enter, el valor aproximat és:

$$l \approx 2.274 \times 10^{26}$$

Resposta (b): El valor aproximat de $l$ és:

$$\boxed{2.274 \times 10^{26}}$$

---

(c) Per què la quantització no s’observa en física macroscòpica

La quantització del moment angular, descrita per $L = l \hbar$, és un fenomen rellevant en sistemes quàntics, com àtoms o partícules subatòmiques, on les escales d’energia i longitud són molt petites. En aquests sistemes, els nivells d’energia i el moment angular estan restringits a valors discrets a causa de la naturalesa ondulatòria de les partícules i la constant de Planck ($\hbar \approx 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}$).

En física macroscòpica, com en el cas d’aquesta partícula de $2$ g, les magnituds físiques (massa, velocitat, radi) són molt més grans, i el moment angular resultant ($L \approx 10^{-8} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$) és enorme en comparació amb $\hbar$. Això fa que els increments discrets de moment angular ($\Delta L = \hbar$) siguin extremadament petits respecte al valor total de $L$. Per exemple:

$$\frac{\hbar}{L} \approx \frac{10^{-34}}{10^{-8}} = 10^{-26}$$

Aquesta diferència és tan insignificant que els nivells quantitzats són indistingibles, i el moment angular sembla variar de forma contínua. A més, els efectes quàntics esdevenen negligibles en sistemes macroscòpics perquè les interaccions amb l’entorn (friccions, fluctuacions tèrmiques, etc.) emmascaren la quantització. Per tant, en la física clàssica, el moment angular es tracta com una variable contínua.

Resposta (c): La quantització del moment angular no s’observa en física macroscòpica perquè el valor del moment angular és molt més gran que $\hbar$, fent que els increments discrets siguin insignificants, i perquè els efectes quàntics són emmascarats per interaccions ambientals en sistemes grans.

$$\boxed{\text{La quantització no s’observa perquè } L \gg \hbar \text{ i els efectes quàntics són negligibles en sistemes macroscòpics.}}$$