Estimació del Canvi en la Durada del Dia per la Fusió dels Casquetes Polars

Els casquetes polars contenen aproximadament $2.3 \times 10^{19} \, \text{kg}$ de gel. La seva massa pràcticament no contribueix al moment d’inèrcia de la Terra perquè estan situats als pols, prop dels eixos de rotació. Estimeu el canvi en la durada del dia que es podria esperar si tot el gel dels casquetes polars es fongués i l’aigua es distribuís uniformement sobre la superfície de la Terra. (El moment d’inèrcia d’una escorça esfèrica prima de massa $m$ i radi $r$ és $\frac{2}{3} m r^2$; el moment d’inèrcia d’una esfera respecte a un eix que passa pel seu centre és $\frac{2}{5} m r^2$; la massa de la Terra és $M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$).

---

Pas 1: Dades inicials

• Massa del gel: $m = 2.3 \times 10^{19} \, \text{kg}$.
• Massa de la Terra: $M = 6 \times 10^{24} \, \text{kg}$.
• Moment d’inèrcia d’una esfera (Tierra): $I_{\text{esfera}} = \frac{2}{5} M R^2$.
• Moment d’inèrcia d’una escorça esfèrica prima (aigua redistribuïda): $I_{\text{escorça}} = \frac{2}{3} m R^2$.
• El gel als pols no contribueix significativament al moment d’inèrcia inicial.
• Radi de la Terra: $R \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{m}$.
• Durada inicial del dia: $T_0 = 86400 \, \text{s}$ (24 hores).

---

Pas 2: Moment d’inèrcia inicial

El moment d’inèrcia de la Terra (esfera sòlida) és:

$$I_0 = \frac{2}{5} M R^2$$

Substituïm:

$$R^2 = (6.371 \times 10^6)^2 \approx 4.059 \times 10^{13} \, \text{m}^2$$

$$I_0 = \frac{2}{5} \cdot 6 \times 10^{24} \cdot 4.059 \times 10^{13} \approx 9.742 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

---

Pas 3: Canvi en el moment d’inèrcia

Quan el gel es fon i es distribueix uniformement, forma una escorça esfèrica prima amb moment d’inèrcia:

$$I_{\text{escorça}} = \frac{2}{3} m R^2$$

$$I_{\text{escorça}} = \frac{2}{3} \cdot 2.3 \times 10^{19} \cdot 4.059 \times 10^{13} \approx 6.224 \times 10^{32} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

El moment d’inèrcia total final és:

$$I_{\text{final}} = I_0 + I_{\text{escorça}} \approx 9.742 \times 10^{37} + 6.224 \times 10^{32} \approx 9.74206224 \times 10^{37} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

---

Pas 4: Conservació del moment angular

El moment angular es conserva:

$$I_0 \omega_0 = I_{\text{final}} \omega_{\text{final}}$$

Com $\omega = \frac{2\pi}{T}$, tenim:

$$\frac{T_{\text{final}}}{T_0} = \frac{I_{\text{final}}}{I_0} \approx \frac{9.74206224 \times 10^{37}}{9.742 \times 10^{37}} \approx 1.00000639$$

$$T_{\text{final}} = 86400 \cdot 1.00000639 \approx 86400.551 \, \text{s}$$

---

Pas 5: Canvi en la durada del dia

$$\Delta T = T_{\text{final}} – T_0 \approx 86400.551 – 86400 \approx 0.551 \, \text{s}$$

---

Resposta final:
El canvi en la durada del dia seria un augment d’aproximadament 0.55 segons.

$$\boxed{0.55 \, \text{s}}$$