Càlcul del Volum Molar de la Hemoglobina i Comparació amb el Valor Experimental

La constant de difusió de la hemoglobina en aigua a 20 °C és \( 6,9 \cdot 10^{-11} \, \text{m}^2 \text{s}^{-1} \), i la viscositat de l’aigua a aquesta temperatura és \( 1,002 \cdot 10^{-3} \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \text{s}^{-1} \). Suposant que les molècules de hemoglobina són esfèriques, calculeu el volum molar de la hemoglobina i compareu-lo amb el valor experimental, donada la densitat de la hemoglobina a $20$ °C de \( 1,335 \, \text{g} \cdot \text{mL}^{-1} \).

Per calcular el volum molar de la hemoglobina suposant molècules esfèriques, utilitzem la relació d’Einstein-Stokes per a la difusió:\[D = \frac{k_B T}{6 \pi \eta r}\]On:

• \( D \): constant de difusió (\( 6,9 \cdot 10^{-11} \, \text{m}^2 \text{s}^{-1} \)).

• \( k_B \): constant de Boltzmann (\( 1,380649 \cdot 10^{-23} \, \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \)).

• \( T \): temperatura absoluta (\( 20 \, \text{°C} = 293,15 \, \text{K} \)).

• \( \eta \): viscositat de l’aigua (\( 1,002 \cdot 10^{-3} \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \text{s}^{-1} \)).

• \( r \): radi de la molècula esfèrica (a calcular).

Després, calcularem el volum d’una molècula, el volum molar i el compararem amb el valor experimental basat en la densitat.

Reorganitzem la fórmula per trobar \( r \):\[r = \frac{k_B T}{6 \pi \eta D}\]

\[r = \frac{1,380649 \cdot 293.15}{1,303 \cdot 10^{-12}} \approx 3,106 \cdot 10^{-9} \, \text{m} = 3,106 \, \text{nm}.\]

Calcular el volum d’una molècula. El volum d’una esfera és:\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]Substituïm \( r = 3,106 \cdot 10^{-9} \, \text{m} \):\[r^3 = (3,106 \cdot 10^{-9})^3 \approx 2,995 \cdot 10^{-26} \, \text{m}^3\]\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 2,995 \cdot 10^{-26} \approx 1,2566 \cdot 3,1416 \cdot 2,995 \cdot 10^{-26} \approx 1,182 \cdot 10^{-25} \, \text{m}^3\]

Calcular el volum molar. El volum molar (\( V_m \)) es calcula multiplicant el volum d’una molècula pel nombre d’Avogadro (\( N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{mol}^{-1} \)):\[V_m = V \cdot N_A = 1,182 \cdot 10^{-25} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \approx 7,119 \cdot 10^{-2} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}\]Convertim a litres per mol (\( 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{L} \)):\[V_m = 7,119 \cdot 10^{-2} \cdot 1000 = 71,19 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1}\]

Calcular el volum molar experimental. La densitat de la hemoglobina és \( \rho = 1,335 \, \text{g} \cdot \text{mL}^{-1} \). El volum molar experimental es calcula com:\[V_m = \frac{M}{ \rho}\]La massa molar de la hemoglobina és d’aproximadament \( 64.500 \, \text{g} \cdot \text{mol}^{-1} \) (valor típic per a hemoglobina humana). Convertim la densitat a \( \text{g} \cdot \text{L}^{-1} \):\[\rho = 1,335 \, \text{g} \cdot \text{mL}^{-1} = 1335 \, \text{g} \cdot \text{L}^{-1}\]\[V_m = \frac{64500}{1335} \approx 48,31 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1}\]

Comparació

• Volum molar calculat (Einstein-Stokes): \( 71,19 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \).

• Volum molar experimental: \( 48,31 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \).

La diferència pot ser deguda a:

1. La suposició de molècules estrictament esfèriques, quan la hemoglobina té una estructura més complexa.

2. Interaccions amb l’aigua (hidratació) que poden afectar la difusió.

3. Incerteses en la constant de difusió o la massa molar.

Resposta final:

• Volum molar calculat: \( 71,19 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \).

• Volum molar experimental: \( 48,31 \, \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \).

• Comparació: El volum molar calculat és major que l’experimental, possiblement per la idealització de la forma esfèrica i efectes d’hidratació.