Anàlisi de la Fracció d’Energia Cinètica de Rotació en una Bicicleta

Una bicicleta de massa $14$ kg té unes rodes amb un diàmetre de $1.2$ m, cadascuna amb una massa de $3$ kg. La massa del ciclista és de $38$ kg. Estimeu la fracció de l’energia cinètica total de la bicicleta i el ciclista associada a la rotació de les rodes.

Per fer aquest exercici, simplificarem les coses i suposarem que les rodes es poden modelar com dos aros prims (despreciem els radis i el gruix de les rodes). Siguin $M$ la massa del ciclista, $m$ la massa de la bicicleta sense incloure les rodes, $m_r$ la massa de cada roda, i $r$ el radi de les rodes. La fracció que es demana en el problema és el següent quocient d’energies cinètiques:

$$\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{tot}}} = \frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{rot}} + K_{\text{trans}}}\tag{1}\label{eq:rot}$$

sent $K_{\text{rot}}$ l’energia cinètica de rotació de les rodes. Tenint en compte que hi ha dues rodes a la bicicleta, i que cada roda és un aro de radi $r$, aquesta energia és:

$$K_{\text{rot}} = 2 K_{\text{rot, roda}} = 2 \cdot \frac{1}{2} I_{\text{roda}} \omega^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} (m_r r^2) \omega^2 = m_r r^2 \omega^2 = m_r r^2 \left( \frac{v}{r} \right)^2 = m_r v^2\tag{2}\label{eq:rot2}$$

on s’ha utilitzat que el moment d’inèrcia de la roda respecte a l’eix que passa pel centre de massa és $I_r = m_r r^2$. D’altra banda, $K_{\text{trans}}$ és l’energia cinètica de translació del conjunt, i inclou la de la bicicleta, el ciclista i la de les dues rodes (cal tenir en compte que, en rodar, el centre de massa de les rodes també es desplaça):

$$K_{\text{trans}} = K_{\text{trans, bicicleta}} + K_{\text{trans, ciclista}} + K_{\text{ruedes}} = \frac{1}{2} (m + M + 2 m_r) v^2\tag{3}\label{eq:rot3}$$

Substituint les equacions $\eqref{eq:rot2}$ i $\eqref{eq:rot3}$ en l’equació $\eqref{eq:rot}$, obtenim:

$$\frac{K_{\text{rot}}}{K_{\text{tot}}} = \frac{m_r v^2}{\frac{1}{2} (m + M + 4 m_r) v^2} = \frac{2 m_r}{m + M + 4 m_r} = \frac{2 \cdot 3 \, \text{kg}}{14 \, \text{kg} + 38 \, \text{kg} + 4 \cdot 3 \, \text{kg}} = \frac{6}{64} \approx 0.103$$

És a dir, un $10.3\%$ de l’energia cinètica correspon a la rotació; la resta és translació. Curiosament, el resultat és independent del radi de les rodes i de la velocitat de la bicicleta.