PAU LOGSE 2004 Sèrie 3 Qüestió 4. Catalunya

Considerem els punts de l’espai $A(1, 1, 0)$, $B(0, 1, 2)$ i $C(-1, 2, 1)$. Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d’un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Es demana: a) aquests punts, estan alineats? b) podem saber el rang de la matriu del sistema d’equacions?

a) aquests punts, estan alineats?

Tres punts estan alineats si i només si els vectors que formen són proporcionals. De manera analítica: $A$, $B$ i $C$ alineats si i només si $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ són proporcionals.

$$\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 1, 2) – (1, 1, 0) = (-1, 0, 2)$$

$$\overrightarrow{AC} = C – A = (-1, 2, 1) – (1, 1, 0) = (-2, 1, 1)$$

$$\frac{-1}{-2} \neq \frac{0}{1} \neq \frac{2}{1} \Rightarrow \overrightarrow{AB} \text{ i } \overrightarrow{AC} \text{ no són proporcionals} \Rightarrow A, B, C \text{ no estan alineats.}$$

b) podem saber el rang de la matriu del sistema d’equacions?

Si $A$, $B$ i $C$ formen part del conjunt de solucions d’un sistema lineal i no estan alineats, vol dir que el sistema d’equacions té com a mínim tot un pla de solucions (el pla que passa pels punts $A$, $B$ i $C$, i) per tant el sistema és un sistema compatible indeterminat amb 2 graus de llibertat per tant: $\text{Rang}(A) = \text{Rang}(A’) = 1$