PAU 2010 Sèrie 4 Qüestió 6. Catalunya

Siguin $u_1 = (1, 3, 2)$, $u_2 = (-2, -1, 4)$ i $u_3 = (1, a – 1, 4a + 2)$ tres vectors de l’espai vectorial $\mathbb{R}^3$. a) Trobeu el valor del paràmetre $a$ per al qual el vector $u_3$ és combinació lineal dels vectors $u_1$ i $u_2$. b) Comproveu que per a $a = 0$ el conjunt ${u_1, u_2, u_3}$ és linealment independent.

a) Trobeu el valor del paràmetre $a$ per al qual el vector $u_3$ és combinació lineal dels vectors $u_1$ i $u_2$.

El vector $\vec{u}_3$ serà combinació lineal dels altres dos si la matriu formada per tots tres té un rang inferior a 3, és a dir si el seu determinant és nul. Així:

$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & a+1 \\
3 & -1 & a-1 \\
2 & 4 & 4a+2
\end{pmatrix}$$

$$|A| = 4a + 2 + 12(a+1) + 4(a-1) + 2(a+1) + 4(a-1) – 6(4a+2)$$

$$= -5(4a+2) + 14(a+1) + 8(a-1) = -20a – 10 + 14a + 14 + 8a – 8 = 2a – 4$$

$$|A| = 0 \Rightarrow 2a – 4 = 0 \Rightarrow 2a = 4 \Rightarrow a = 2$$

b) Comproveu que per a $a = 0$ el conjunt ${u_1, u_2, u_3}$ és linealment independent.

$\vec{u}_1 = (-1, 3, 2)$, $\vec{u}_2 = (2, -1, 4)$ i $\vec{u}_3 = (a+1, a-1, 4a+2)$, si $a = 0$, aleshores:

$\vec{u}_1 = (-1, 3, 2)$, $\vec{u}_2 = (2, -1, 4)$ i $\vec{u}_3 = (1, -1, 2)$

El conjunt ${\vec{u}_1, \vec{u}_2, \vec{u}_3}$ és linealment independent si la matriu formada per aquests tres vectors té rang 3, o el que és el mateix, determinant no nul. Així:

$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
3 & -1 & -1 \\
2 & 4 & 2
\end{pmatrix}$$

$$|A| = 2 + 12 – 4 + 2 – 4 – 12 = -4 \neq 0 \Rightarrow \text{Rang}(A) = 3$$