Vector com a combinació lineal

Volem saber si el vector $\vec{v}=\left(17,8,-9\right)$ es pot escriure com a combinació lineal dels vectors $\vec{v_1}=\left( 3,1,-2 \right)$, $\vec{v_2}=\left( 1,1,1 \right)$ i $\vec{v_3}=\left( 0,-1,1 \right)$.

Per esbrinar-ho hem de trobar uns coeficients reals $a$, $b$ i $c$ tals que:

$$\displaystyle \begin{align} \vec{v}=a\,\vec{v_1}+b\,\vec{v_2}+c\,\vec{v_3} \quad &\Rightarrow\quad \left(17,8,-9\right) = a\left( 3,1,-2 \right)+b\left( 1,1,1 \right)+c\left( 0,-1,1 \right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left(17,8,-9\right) = \left( 3a+b,a+b-c,-2a+b+c \right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{rrr} 3a+b&=&17\\a+b-c&=&8\\-2a+b+c&=&-9 \end{array}\right. \end{align}$$

El problema, per tant, és equivalent a resoldre un sistema d’equacions

$$\displaystyle \left.\begin{array}{rrr} 3a+b&=&17\\a+b-c&=&8\\-2a+b+c&=&-9 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} a=5\\b=2\\c=-1 \end{array}\right.$$

En aquest cas, el problema té solució i el vector $\vec{v}$ es pot escriure com a combinació lineal de $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ i $\vec{v_3}$.

$$\vec{v}=5\vec{v_1}+2\vec{v_2}-\vec{v_3}$$