PAU LOGSE 2004 Sèrie 1 Qüestió 4. Catalunya

Els punts $A (-3, 2, 4)$, $B (0, 2, 2 + k)$ i $C (-k + 2, 6, 1)$ són tres dels vèrtexs d’un rombe $ABCD$. a) Calculeu el valor de $k$. b) Demostreu que el rombe és un quadrat.

a) Calculeu el valor de $k$.

Un rombe té els $4$ costats iguals i els angles desiguals. Per tant, si els punts $A$, $B$ i $C$ són tres vèrtexs “consecutius” d’un rombe, aleshores $d(A, B) = d(B, C)$.

NOTA: En la figura que ens donen a l’examen podem observar que $A$, $B$ i $C$ són vèrtexs consecutius. Si $A$, $B$ i $C$ no fossin consecutius, no podríem afirmar que $d(A, B) = d(B, C)$.

Aleshores:

$$\overrightarrow{AB} = B – A = (0, k + 2, 2) – (k – 3, 2, 4) = (-k + 3, k, -2)$$

$$\overrightarrow{BC} = C – B = (-2, 6, k + 1) – (0, k + 2, 2) = (-2, 4 – k, k – 1)$$

$$d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-k + 3)^2 + k^2 + (-2)^2} = \sqrt{(k^2 – 6k + 9) + k^2 + 4} = \sqrt{2k^2 – 6k + 13}$$

$$d(B, C) = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (4 – k)^2 + (k – 1)^2} = \sqrt{4 + (4 – k)^2 + (k – 1)^2}$$

$$d(A, B) = d(B, C) \Rightarrow \sqrt{2k^2 – 6k + 13} = \sqrt{4 + (4 – k)^2 + (k – 1)^2}$$

$$\Rightarrow 2k^2 – 6k + 13 = 4 + (4 – k)^2 + (k – 1)^2$$

$$\Rightarrow 2k^2 – 6k + 13 = 4 + (16 – 8k + k^2) + (k^2 – 2k + 1)$$

$$\Rightarrow 2k^2 – 6k + 13 = 4 + 16 – 8k + k^2 + k^2 – 2k + 1$$

$$\Rightarrow 2k^2 – 6k + 13 = 2k^2 – 10k + 21$$

$$\Rightarrow 0 = -4k + 8$$

$$\Rightarrow 4k = 8 \Rightarrow k = 2$$

b) Demostreu que el rombe és un quadrat.

Donat que un rombe ja té els $4$ costats iguals, per demostrar que un rombe és un quadrat, l’únic que s’ha de fer és demostrar que els seus angles són de $90^\circ$. Per fer-ho és suficient demostrar que un angle és de 90º perquè aleshores, per construcció els altres 3 angles també seran de $90^\circ$.

Així, demostrarem que l’angle en $B$ és de 90º demostrant que els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ són perpendiculars.

Recordem que dos vectors són perpendiculars si el seu producte escalar és zero. Com en l’apartat anterior hem obtingut que $k = 2$ aleshores tenim que:

$$\overrightarrow{AB} = (-k + 3, k, -2) = (1, 2, -2) \quad i \quad \overrightarrow{BC} = (-2, 4 – k, k – 1) = (-2, 2, 1)$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (1, 2, -2) \cdot (-2, 2, 1) = -2 + 4 – 2 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$$