PAU LOGSE 2003 Sèrie 3 Qüestió 4. Catalunya

Considerem els punts de l’espai $A = (0, -2a – 1, 4a – 2)$, $B = (1, -3, 4)$, $C = (3, -5, 3)$. a) Comprovem que el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ és rectangle en $B$ per a qualsevol valor de $a$. b) Calculeu els valors de $a$ que fan que aquest triangle sigui isòsceles.

a) Comprovem que el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ és rectangle en $B$ per a qualsevol valor de $a$.

Per comprovar que el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ és rectangle en $B$ comprovarem que els vectors $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{BC}$ son perpendiculars. Per demostrar aquest perpendicularitat és suficient demostrar que el seu producte escalar és zero. Així hem de comprovar que $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$.

$$\overrightarrow{BA} = A – B = (0, -2a – 1, 4a – 2) – (1, -3, 4) = (-1, -2a + 2, 4a – 6)$$

$$\overrightarrow{BC} = C – B = (3, -5, 3) – (1, -3, 4) = (2, -2, -1)$$

$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \cdot (2) + (-2a + 2) \cdot (-2) + (4a – 6) \cdot (-1)$$

$$= -2 + (-2a + 2) \cdot (-2) + (4a – 6) \cdot (-1)$$

$$= -2 + (4a – 4) + (-4a + 6) = 0$$

Hem vist que el producte escalar dels vectors $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{BC}$ sempre dóna 0 independentment del valor que prenqui el paràmetre $a$, per tant, aquests dos vectors sempre son perpendiculars.

b) Calculeu els valors de $a$ que fan que aquest triangle sigui isòsceles.

Sabem per l’apartat anterior, que el triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ és rectangle en $B$. Per a que aquest triangle de vèrtexs $A$, $B$ i $C$ sigui isòsceles s’ha de complir que els costats $\overrightarrow{BA}$ i $\overrightarrow{BC}$ mesurin el mateix. És a dir, que $d(B, A) = d(B, C)$ o que és el mateix, que $|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{BC}|$.

$$|\overrightarrow{BA}| = |\overrightarrow{BC}| \Rightarrow \sqrt{(-1)^2 + (-2a + 2)^2 + (4a – 6)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2}$$

$$\Rightarrow \sqrt{(-1)^2 + (-2a + 2)^2 + (4a – 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}$$

$$\Rightarrow (-1)^2 + (-2a + 2)^2 + (4a – 6)^2 = 2^2 + (-2)^2 + (-1)^2$$

$$\Rightarrow 1 + (-2a + 2)^2 + (4a – 6)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$$

$$\Rightarrow (-2a + 2)^2 + (4a – 6)^2 = 8$$

$$\Rightarrow (4a^2 – 8a + 4) + (16a^2 – 48a + 36) = 9$$

$$\Rightarrow 20a^2 – 56a + 32 = 0 \Rightarrow -4 \cdot 5a^2 – 14a + 8 = 0 \Rightarrow a = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 8}}{2 \cdot 5}$$

$$\Rightarrow a = \frac{14 \pm \sqrt{196 – 160}}{10} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{10} = \frac{14 \pm 6}{10}$$

$$\Rightarrow a = \frac{20}{10} = 2 \quad \text{o} \quad a = \frac{8}{10} = 0.8$$