PAU 2013 Sèrie 1 Qüestió 1. Catalunya

Sigui $V = {(-1,1,1), (-2,-1,0), (1,2,a)}$ un conjunt de vectors de $\mathbb{R}^3$. a) Trobeu el valor o els valors de $a$ perquè $V$ sigui linealment dependent. b) Quan $a = 4$, exprimeu el vector $\vec{v} = (3,9,14)$ com a combinació lineal dels vectors de $V$.

a) Trobeu el valor o els valors de $a$ perquè $V$ sigui linealment dependent.

Els tres vectors seran linealment depen\dents si el determinant de tots tres és zero, així:

$$\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
-2 & -1 & 0 \\
1 & 2 & a
\end{vmatrix} = 0 \rightarrow a – 4 + 0 + 1 – 0 + 2a = 0 \rightarrow 3a – 3 = 0 \rightarrow 3a = 3 \rightarrow a = 1$$

b) Quan $a = 4$, exprimeu el vector $\vec{v} = (3,9,14)$ com a combinació lineal dels vectors de $V$.

En aquest cas es tracta d’expressar el vector $\vec{v} = (3,9,14)$ com a combinació lineal de $V = {(-1,1,1), (-2,-1,0), (1,2,4)}$. Aleshores:

$(3,9,14) = \alpha \cdot (-1,1,1) + \beta \cdot (-2,-1,0) + \gamma \cdot (1,2,4) \rightarrow \begin{cases} 3 = -\alpha – 2\beta + \gamma \\ 9 = \alpha – \beta + 2\gamma \\ 14 = \alpha + 4\gamma \end{cases}$

$$\rightarrow \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 2 & 9 \\
1 & 0 & 4 & 14
\end{pmatrix}$$

$F_2 \rightarrow F_2 + F_1), (F_3 \rightarrow F_3 – F_1$

$$= \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 & 3 \\
0 & -3 & 3 & 12 \\
0 & 2 & 3 & 11
\end{pmatrix}$$

$F_3 \rightarrow F_3 – 2F_2$

$$= \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 & 3 \\
0 & -3 & 3 & 12 \\
0 & 0 & -3 & -13
\end{pmatrix}$$

$F_1 \rightarrow -F_1), (F_2 \rightarrow -F_2$

$$= \begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & -3 \\
0 & 3 & -3 & -12 \\
0 & 0 & 3 & 13
\end{pmatrix}$$

$3\gamma = 9 \rightarrow \gamma = 3$

$-\beta + 2\gamma = 4 \rightarrow -\beta + 6 = 4 \rightarrow -\beta = -2 \rightarrow \beta = 2$

$-\alpha – 2\beta + \gamma = -3 \rightarrow -\alpha – 4 + 3 = -3 \rightarrow -\alpha – 1 = -3 \rightarrow -\alpha = -2 \rightarrow \alpha = 2$

Per tant:

$(3,9,14) = 2 \cdot (-1,1,1) – 1 \cdot (-2,-1,0) + 3 \cdot (1,2,4)$