PAU 2014 Sèrie 5 Qüestió 5. Catalunya

Donats els vectors $\vec{u} = (2, -1, 0)$, $\vec{v} = (-1, 3, 4)$, $\vec{w} = (0, 3a – 1, 4a)$, a) Calculeu els valors del paràmetre (a) perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents. b) Calculeu els valors del paràmetre $a$ perquè un tetraedre d’arestes $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tingui un volum de $2/3$ d’unitats cúbiques.

a) Calculeu els valors del paràmetre $a$ perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents.

Els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ seran linealment dependents si la matriu quadrada d’ordre 3 que formen té rang menor que 3, és a dir, si el seu determinant és zero. Per tant,

$$\begin{vmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 3 & 3a – 1 \\
0 & 4 & 4a
\end{vmatrix} = 24a + 0 + 0 – 0 – 8(3a – 1) – 4a = 24a – 24a + 8 – 4a = 8 – 4a = 0 \rightarrow$$

$4a = 8 \rightarrow a = 2$

b) Calculeu els valors del paràmetre $a$ perquè un tetraedre d’arestes $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ tingui un volum de $2/3$ d’unitats cúbiques.

El volum del tetraedre d’arestes $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ es calcula a partir del volum del paral·lelepípede d’arestes (\vec{u}), (\vec{v}) i (\vec{w}) que a la vegada és el valor absolut del producte mixt dels 3 vectors. Així:

$V = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{1}{6} |\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}| = \frac{2}{3} \rightarrow |\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}| = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 \rightarrow |\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}| = 4 \rightarrow |8 – 4a| = 4$

$|8 – 4a| = 4 \rightarrow \begin{cases} 8 – 4a = 4 \rightarrow -4a = -4 \rightarrow a = 1 \\ 8 – 4a = -4 \rightarrow -4a = -12 \rightarrow a = 3 \end{cases}$

Per tant, l’apartat té dues solucions $a = 1$ i $a = 3$.