PAU 2005 Sèrie 3 Qüestió 2. Catalunya

Considereu els vectors de $\mathbb{R}^3$: $\vec{v}_1 = (-1, 3, 4)$, $\vec{v}_2 = (2, -1, -3)$, $\vec{v}_3 = (1, 2k+1, k+3)$ a) Trobeu l’únic valor de $k$ per al qual aquests vectors no són una base de $\mathbb{R}^3$. b) Per a un valor de $k$ diferent del que heu trobat en l’apartat a), quins són els components del vector $\vec{w} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$ en la base ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$?

a) Trobeu l’únic valor de (k) per al qual aquests vectors no són una base de (\mathbb{R}^3).

Els vectors $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$ no són una base de $\mathbb{R}^3$ si són linealment dependents, és a dir, si la matriu que formen no té rang 3 o el que és el mateix, si la matriu que formen té determinant nul. Per tant:

$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 \\
3 & -1 & 2k+1 \\
4 & -3 & k+3
\end{pmatrix} \rightarrow |A| = (k+3) \cdot 9 + 8(2k+1) + 4 – 3(2k+1) – 6(k+3) =$$

$$= k+3 – 9 + 16k + 8 + 4 – 6k – 18 = 5k – 15 – 0 \rightarrow 5k = 15 \rightarrow k = 3$$

b) Per a un valor de $k$ diferent del que heu trobat en l’apartat a), quins són els components del vector $\vec{w} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$ en la base ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$?

Si ${\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$ és una base de $\mathbb{R}^3$, el vector $\vec{w} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3$ és $\vec{w} = 1 \cdot \vec{v}_1 + 1 \cdot \vec{v}_2 + 1 \cdot \vec{v}_3$, per tant, les components del vector $\vec{w}$ respecte de la base $B = {\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3}$ són $(1, 1, 1)$.