PAU LOGSE 2000 Sèrie 5 Qüestió 3. Catalunya

Siguin $\vec{u}$ i $\vec{v}$ els dos vectors del pla: $$\vec{u} = (1, 1), \quad \vec{v} = \frac{1}{2} \left(1 + \sqrt{3}, 1 – \sqrt{3}\right)$$ Calculeu l’angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Per calcular l’angle $\alpha$ entre dos vectors, utilitzem:
$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$

Pas 1: Producte escalar $\vec{u} \cdot \vec{v}$
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \frac{1 – \sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3} + 1 – \sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Pas 2: Mòduls dels vectors

• Mòdul de $\vec{u}$:
  $$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$
• Mòdul de $\vec{v}$:
  $$|\vec{v}| = \sqrt{\left( \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1 – \sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 – \sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{\frac{(4 + 2\sqrt{3}) + (4 – 2\sqrt{3})}{4}} = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}$$

Pas 3: Cosinus de l’angle
$$\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

Pas 4: Angle
$$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$$

$\textbf{Resposta final:}$
$$\boxed{60^\circ}$$