Problema 3 model 1 juliol 2024 Illes Balears

Siguin $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$ punts de $\mathbb{R}^3$.

(a) Demostra que els tres punts formen un triangle rectangle. Indica quin dels $3$ angles és recte.

(b) Es podria construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex? Justifica la resposta.

(c) Prova que, per a qualsevol valor de $a$ real, el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, $Q$ i $R$.

(a) Demostra que els tres punts formen un triangle rectangle. Indica quin dels 3 angles és recte.

Per demostrar que els punts $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$ formen un triangle rectangle, hem de verificar si algun dels angles del triangle format per aquests punts és un angle de $90$ graus. Per fer-ho, utilitzarem el criteri del producte escalar: dos vectors són perpendiculars si el seu producte escalar és igual a zero.

Càlcul dels Vectors del Triangle

Primer, calculem els vectors que representen les arestes del triangle format per aquests punts:

1. Vector $\overrightarrow{PQ}$:
   $$\overrightarrow{PQ} = Q – P = (7 – (-1), 1 – 1, 7 – 1) = (8, 0, 6)$$
2. Vector $\overrightarrow{PR}$:
   $$\overrightarrow{PR} = R – P = (-4 – (-1), 1 – 1, 5 – 1) = (-3, 0, 4)$$
3. Vector $\overrightarrow{QR}$:
   $$\overrightarrow{QR} = R – Q = (-4 – 7, 1 – 1, 5 – 7) = (-11, 0, -2)$$

Càlcul del Producte Escalar

Per comprovar si els vectors són perpendiculars, calculem els productes escalars dels vectors:

1. Producte escalar $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}$:
   $$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = (8, 0, 6) \cdot (-3, 0, 4) = 8 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 + 6 \cdot 4 = -24 + 0 + 24 = 0$$

Ja que el producte escalar és zero, els vectors $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$ són perpendiculars. Això significa que l’angle entre aquests dos vectors és un angle de $90$ graus.

Determinació de quin angle és recte

Com que $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = 0$, els vectors $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$ són perpendiculars, i això indica que l’angle entre $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$ és un angle recte.

Per tant, el triangle format pels punts $P$, $Q$ i $R$ és un triangle rectangle, amb l’angle recte a $P$, ja que els vectors $\overrightarrow{PQ}$ i $\overrightarrow{PR}$ són perpendiculars.

(b) Es podria construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex? Justifica la resposta.

Per determinar si és possible construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex als punts donats $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$, podem seguir els següents passos senzills:

1. Distància entre $P$ i $Q$:
   $$\text{Distància}(P, Q) = \sqrt{(7 – (-1))^2 + (1 – 1)^2 + (7 – 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2 + 6^2} =$$
   $$= \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$
2. Distància entre ($P$ i $R$:
   $$\text{Distància}(P, R) = \sqrt{(-4 – (-1))^2 + (1 – 1)^2 + (5 – 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 4^2} =$$
   $$= \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
3. Distància entre $Q$ i $R$:
   $$\text{Distància}(Q, R) = \sqrt{(-4 – 7)^2 + (1 – 1)^2 + (5 – 7)^2} = \sqrt{(-11)^2 + 0^2 + (-2)^2} =$$
   $$= \sqrt{121 + 4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

Pas 2: Identificar les condicions per formar un quadrat

• En un quadrat, totes les arestes són iguals.
• Les diagonals d’un quadrat són iguals i són més llargues que les arestes.

Les distàncies calculades entre els punts són:

• $P$ a $Q$: 10
• $P$ a $R$: 5
• $Q$ a $R$: $5\sqrt{5}$

Com que les distàncies no són iguals a les altres, per tant, els punts $P$, $Q$ i $R$ no són tots vèrtexs d’un quadrat.

Conclusió

No es pot construir un quadrat afegint només un vèrtex a partir dels punts donats $P$, $Q$ i $R$. Els punts donats no compleixen les condicions d’un quadrat, ja que les distàncies entre els punts no són totes iguals ni compleixen les condicions de diagonals iguals i més llargues que les arestes.

(c) Prova que, per a qualsevol valor de $a$ real, el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, $Q$ i $R$.

Per provar que el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb els punts $P = (-1, 1, 1)$, $Q = (7, 1, 7)$ i $R = (-4, 1, 5)$ utilitzant els vectors $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PR}$ i $\overrightarrow{PS}$, seguirem aquests passos:

Passos per Verificar la Coplanaritat

1. Calcular els vectors $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PR}$ i $\overrightarrow{PS}$:

• Vector $\overrightarrow{PQ}$:
  $$\overrightarrow{PQ} = Q – P = (7 – (-1), 1 – 1, 7 – 1) = (8, 0, 6)$$
• Vector $\overrightarrow{PR}$:
  $$\overrightarrow{PR} = R – P = (-4 – (-1), 1 – 1, 5 – 1) = (-3, 0, 4)$$
• Vector $\overrightarrow{PS}$:
  $$\overrightarrow{PS} = S – P = (a – (-1), 1 – 1, 0 – 1) = (a + 1, 0, -1)$$

Producte mixt $\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS})$:
Primer, calculem $\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS}$:
$$\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-3 & 0 & 4 \\
a + 1 & 0 & -1
\end{vmatrix}$$

• Component $\mathbf{i}$: $(0) \cdot (-1) – (4) \cdot (0) = 0$
• Component $\mathbf{j}$: $-[ (-3) \cdot (-1) – (4) \cdot (a + 1) ] = -[ 3 – 4(a + 1) ] = -[ 3 – 4a – 4 ] = -[ -4a – 1 ] = 4a + 1$
• Component $\mathbf{k}$: $(-3) \cdot (0) – (0) \cdot (a + 1) = 0$

$$\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS} = (0, 4a + 1, 0)$$

Ara, calculem el producte escalar amb $\overrightarrow{PQ}$:
$$\overrightarrow{PQ} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PS}) = (8, 0, 6) \cdot (0, 4a + 1, 0) = 8 \cdot 0 + 0 \cdot (4a + 1) + 6 \cdot 0 = 0$$

Com que el producte mixt és zero per a qualsevol valor de $a$, els vectors $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PR}$ i $\overrightarrow{PS}$ són coplanars. Per tant, el punt $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, ($Q$ i $R$ per a qualsevol valor real de $a$.

Resposta: Sí, $S = (a, 1, 0)$ és coplanari amb $P$, $Q$ i $R$ per a qualsevol $a \in \mathbb{R}$.