Càlcul de vectors perpendiculars

Trobar $a$ i $b$ perquè els vectors $\vec{u} = (a, -1, 2)$ i $\vec{v} = (1, b, -2)$ siguin perpendiculars i les dues primeres coordenades del seu producte vectorial siguin iguals.

Condició de perpendicularitat
Perquè els vectors siguin perpendiculars, el seu producte escalar ha de ser zero:
$$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot 1 + (-1) \cdot b + 2 \cdot (-2) = a – b – 4 = 0$$
$$a – b = 4 \quad (1)$$

Producte vectorial
Calculem $\vec{u} \times \vec{v}$:
$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a & -1 & 2 \\
1 & b & -2
\end{vmatrix} = (2 – 2b, 2a + 2, ab + 1)$$

Les dues primeres coordenades han de ser iguals:
$$2 – 2b = 2a + 2 \quad (2)$$

Resolució del sistema
De (1): (a = b + 4).

Substituïm en (2):
$$2 – 2b = 2(b + 4) + 2 \implies 2 – 2b = 2b + 8 + 2 \implies 2 – 2b = 2b + 10 \implies -8 = 4b \implies b = -2$$
$$a = -2 + 4 = 2$$

$\textbf{Resposta final:}$
$$\boxed{a = 2, \, b = -2}$$