Problema geometria mètrica

Donats els vectors $\vec{u} = (3,1,-1)$ i $\vec{v} = (2,3,4)$, justifica:

Són linealment independents?

Els vectors no són proporcionals. Aleshores són linealment independents.

Completa fins una base de $R^3$ amb un vector que siga unitari i ortogonal a $\vec{u}$ i $\vec{v}$

El vector producte vectorial $\vec{u}\wedge\vec{v}$ és perpendicular al vector $\vec{u}$ i al vector $\vec{v}$

\begin{equation}
\textcolor{blue}{\vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3 & 1 & -1 \\
2 & 3 & 4 \\
\end{vmatrix} = (7, -14, 7) = 7\cdot(1, -2, 1)}
\end{equation}

Calculem el seu mòdul: \begin{equation} \textcolor{blue}{||\vec{u}\wedge\vec{v}|| = \sqrt{7^2+(-14)^2+7^2} = \sqrt{294} = 7\sqrt{6}} \end{equation} Normalitzem, dividint pel mòdul: \begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{a} = \frac{1}{7\sqrt{6}\cdot(7, -14, 7)} = \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot(1, -2, 1)} \end{equation} i aquest és el vector buscat. Els tres vectors formen una base: $B=\{\vec{u}, \vec{v}, \vec{a}\}$

Escriu $\vec{w} = (2,-1,3)$ com combinació lineal dels tres vectors anteriors.

Escriurem $\vec{w}$ com a combinació lineal dels vectors de la base:

\begin{equation} \textcolor{blue}{\vec{w} = x\cdot\vec{u}+y\cdot\vec{v}+z\cdot\vec{a}} \end{equation} \begin{equation} \textcolor{blue}{(2, -1, 3) = x\cdot(3, 1, -1)+y\cdot(2, 3, 4)+z\cdot(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{-2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})} \end{equation} Ens donarà un sistema de tres equacions amb tres incògnites, i aquest sistema és compatible determinat. La matriu de coeficients te rang tres ja que la formen els tres vectors de la base (i per tant linealment independents) La solució és: \begin{equation} \textcolor{blue}{x = \frac{-1}{42},\ y = \frac{19}{42},\ z = \frac{7}{6}\sqrt{6\cdot}\vec{a}} \end{equation}