PAU 2016 Sèrie 3 Qüestió 4. Catalunya

Responeu a les qüestions següents: a) Calculeu totes les matrius de la forma $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ m & -2\end{array}\right)$ que satisfan la igualtat $A^2+A=2I$ en què $I$ és la matriu identitat, $I=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ b) Justifiqueu que si $A$ és una matriu quadrada que compleix la igualtat $A^2 + A = 2I$, aleshores $A$ és invertible, i calculeu l’expressió de $A^{-1}$ en funció de les matrius $A$ i $I$.

a) $$A^2 + A = I\Longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2\end{pmatrix}^2 + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0& 1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -m & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Hem obtingut que la part esquerra de la igualtat sempre dóna la matriu:

$$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$

independentment del valor de $m$. Per tant, la resposta al problema són totes les matrius de la forma:

$$A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & -2\end{pmatrix}$$

b) $$A + A I = A \cdot I + A \cdot I \quad \Rightarrow \quad A \cdot (I + I) = I$$

Tenim que la matriu $A$ multiplicada per la matriu $\frac{1}{2} (A + I)$ dona la matriu identitat. Per tant, $A$ és invertible i la seva inversa és la matriu:

$$A^{-1} = \frac{1}{2} (A + I)$$