Programació lineal. Taller de cotxes i motos

Una empresa disposa de dos tallers per a la reparació de motos i cotxes. El primer taller disposa de 300 hores de treball com a màxim i necessita 6 hores per reparar cada moto i 5 hores per cada cotxe. El segon taller disposa de 200 hores de treball com a màxim i necessita 2 hores per reparar cada moto i 5 hores per cada cotxe. El benefici net que obté l’empresa per cada moto reparada és de 1.000 euros, mentre que el benefici net per cada cotxe reparat és de 1.500 euros. Calcula, utilitzant tècniques de programació lineal, quants cotxes i motos ha de reparar per obtenir el màxim benefici net. Quin és aquest benefici net màxim?

Restriccions del problema

Les restriccions són les següents:

\begin{cases}
6x + 5y \leq 300 \\ 2x + 5y \leq 200 \\ x \geq 0, \quad y \geq 0
\end{cases}

La regió factible es mostra ombrejada en la figura adjunta.

$$6x + 5y = 300 \Rightarrow y = \frac{300 – 6x}{5}$$

$$2x + 5y = 200 \Rightarrow y = \frac{200 – 2x}{5}$$

Els vèrtexs de la regió factible, a més de l’origen, són els següents:

Càlcul dels vèrtexs de la regió factible

$\textbf{Punt }$ $Q$:
\[
x = 0, \quad 2x + 5y = 200 \Rightarrow y = \frac{200}{5} = 40
\]
\[
Q(0,40)
\]

$\textbf{Punt }$ $U$:
\[
\begin{cases}
6x + 5y = 300 \\
2x + 5y = 200
\end{cases}
\]

Restant les equacions:
\[
(6x + 5y) – (2x + 5y) = 300 – 200
\]

\[
4x = 100 \Rightarrow x = 25
\]

Substituint en la segona equació:
\[
2(25) + 5y = 200 \Rightarrow 50 + 5y = 200
\]

\[
5y = 150 \Rightarrow y = 30
\]

\[
U(25,30)
\]

$\textbf{Punt }$ $V$:
\[
y = 0, \quad 6x + 5(0) = 300 \Rightarrow x = \frac{300}{6} = 50
\]

\[
V(50,0)
\]

Funció objectiu

La funció objectiu és:
\[
Z(x,y) = 1.000x + 1.500y
\]

Avaluem en els vèrtexs:

\[
Z(0,40) = 1.000(0) + 1.500(40) = 60.000
\]

\[
Z(25,30) = 1.000(25) + 1.500(30) = 25.000 + 45.000 = 70.000
\]

$\textbf{Punt }$ $V$:
$$Z(50,0) = 1.000 \cdot 50 + 1.500 \cdot 0 = 50.000 + 0 = 50.000$$

El màxim benefici es produeix en el punt $U(25,30)$.
Aquest resultat també es podria haver obtingut analitzant la pendent de la funció objectiu, tal com es pot observar en la figura adjunta.

$$Z(x,y) = 1.000x + 1.500y = 0 \Rightarrow y = -\frac{1000}{1500} x = -\frac{2}{3}x\longrightarrow m=-\frac{2}{3}$$