PAU 2003 – Sèrie 2, Qüestió 4

Per a quin o quins valors del paràmetre real $\lambda$ el sistema d’equacions és compatible i indeterminat? $$\begin{cases}x + 2y + (\lambda + 2)z = 0 \\ x + (2\lambda)y + 3z = 9 \\ 2x – z = 4\end{cases}$$

$$A’ =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \lambda + 2 & 0 \\
1 & 2\lambda & 3 & 9 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \lambda + 2 & 0 \\
0 & 2\lambda – 2 & 1 – \lambda & 9 \\
0 & -4 & -5 – 2\lambda & 4
\end{pmatrix}$$

Per a que el sistema sigui $\textbf{compatible indeterminat}$, el rang de la matriu de coeficients $A$ ha de ser $2$. Per tant, les files $2$ i $3$ d’aquesta matriu han de ser proporcionals, és a dir:

$$(2\lambda – 2)(-5 – 2\lambda) = (1 – \lambda)(-4)$$

$$-10 – 4\lambda^2 + 10\lambda + 4\lambda = -4 + 4\lambda$$

$$-4\lambda^2 – 10\lambda + 14 = 0
\rightarrow 2\lambda^2 + 5\lambda – 7 = 0$$

$$\lambda = 1, \quad \lambda = \frac{-7}{2}$$

Ara cal estudiar per a cadascun d’aquests valors com és el sistema.

Cas $\lambda = 1$:

$$A’ =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 9 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 9 \\
0 & -4 & -7 & 4
\end{pmatrix}$$

$$\text{Rang}(A) = 2 \neq 3 = \text{Rang}(A’) \Rightarrow \textbf{Sistema incompatible (S.I.)}$$

Cas $\lambda = \frac{-7}{2}$:

$$A’ =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\
1 & -7 & 3 & 9 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & -9 & \frac{9}{2} & 9 \\
0 & -4 & 2 & 4
\end{pmatrix}$$

$$\text{Rang}(A) = 2 \neq 3 = \text{Rang}(A’) \Rightarrow \textbf{Sistema incompatible (S.I.)}$$

Transformacions de la matriu ampliada i discussió del sistema

$$A’ =
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -\frac{7}{2} + 2(0) & 0 \\
1 & 2 & -\frac{7}{2} & 0 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & -\frac{3}{2} & 0 \\
1 & -7 & 3 & 9 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2 & 4 & -3 & 0 \\
1 & -7 & 3 & 9 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{array}
\right)$$

$$\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -7 & 3 & 9 \\
2 & 4 & -3 & 0 \\
2 & 0 & -1 & 4
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -7 & 3 & 9 \\
0 & 18 & -9 & -18 \\
0 & 14 & -7 & -14
\end{array}
\right)
\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -7 & 3 & 9 \\
0 & 2 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -1 & -2
\end{array}
\right)$$

$$\equiv
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & -7 & 3 & 9 \\
0 & 2 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right)
\Rightarrow
\text{Rang}(A) = 2 = \text{Rang}(A’) < 3 = \text{nombre d’incògnites}
\Rightarrow
\textbf{Sistema compatible indeterminat (S.C.I.)}
\Rightarrow
\infty \text{ solucions}$$