Càlcul de la probabilitat i l’esperança d’instruments avariats en un sistema binomial

Suposem que tenim cinc instruments i que, de mitjana, un determinat instrument està avariat un de cada deu dies. Calculem:

1. La probabilitat que en un dia hi hagi més de tres instruments avariats.
2. El nombre esperat d’instruments avariats per dia.

1. Probabilitat que més de tres instruments estiguin avariats

Com que un instrument està avariat un de cada deu dies, la probabilitat que un instrument estigui avariat és:
$$p = \frac{1}{10} = 0,1$$
La probabilitat que un instrument no estigui avariat és:
$$q = 1 – p = 0,9$$

Tenim $n = 5$ instruments, i cada un té una probabilitat independent $p = 0,1$ d’estar avariat. Això segueix una distribució binomial, on la probabilitat que exactament $k$ instruments estiguin avariats es calcula amb la fórmula:
$$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

Volem calcular la probabilitat que més de tres instruments estiguin avariats, és a dir:
$$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)$$

Càlcul de $P(X = 4)$:

$$P(X = 4) = \binom{5}{4} \cdot (0,1)^4 \cdot (0,9)^{5-4}$$
$$\binom{5}{4} = 5, \quad (0,1)^4 = 0,0001, \quad (0,9)^1 = 0,9$$
$$P(X = 4) = 5 \cdot 0,0001 \cdot 0,9 = 0,00045$$

Càlcul de $P(X = 5)$:

$$P(X = 5) = \binom{5}{5} \cdot (0,1)^5 \cdot (0,9)^{5-5}$$
$$\binom{5}{5} = 1, \quad (0,1)^5 = 0,00001, \quad (0,9)^0 = 1$$
$$P(X = 5) = 1 \cdot 0,00001 \cdot 1 = 0,00001$$

Suma de les probabilitats:

$$P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) = 0,00045 + 0,00001 = 0,00046$$

Per tant, la probabilitat que més de tres instruments estiguin avariats en un dia és 0,00046 (o un 0,046%).

2. Nombre esperat d’instruments avariats per dia

Per a una distribució binomial, el nombre esperat d’èxits (en aquest cas, instruments avariats) es calcula com:
$$E(X) = n \cdot p$$
Substituïm els valors:
$$E(X) = 5 \cdot 0,1 = 0,5$$

Per tant, el nombre esperat d’instruments avariats per dia és 0,5.

Resposta final

1. La probabilitat que més de tres instruments estiguin avariats en un dia és 0,00046 (o 0,046%).
2. El nombre esperat d’instruments avariats per dia és 0,5.