Anàlisi de la distribució normal de la pressió sistòlica en una població pediàtrica

Suposem que en una certa població pediàtrica, la pressió sistòlica de la sang en repòs segueix una distribució normal amb una mitjana de $115$ mm Hg i una desviació típica de $15$ mm Hg. Calculem:

(a) La probabilitat que un nen escollit a l’atzar tingui una pressió sistòlica superior a $145$ mm Hg.
(b) El valor de pressió sistòlica per sota del qual es troba el $75\%$ dels nens.

(a) Probabilitat que un nen tingui una pressió sistòlica superior a $145$ mm Hg

La pressió sistòlica $X$ segueix una distribució normal $X \sim N(115, 15^2)$, amb mitjana $\mu = 115$ i desviació típica $\sigma = 15$. Volem calcular $P(X > 145)$.

Primer, estandarditzem la variable $X = 145$ a una variable normal estàndard $Z$ utilitzant la fórmula:
$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$$
Substituïm:
$$Z = \frac{145 – 115}{15} = \frac{30}{15} = 2$$

Per tant, $P(X > 145) = P(Z > 2)$.

Sabem que la distribució normal estàndard és simètrica i que la probabilitat acumulada es pot obtenir a partir de taules de la distribució normal estàndard. La probabilitat acumulada fins a $Z = 2$ és:
$$P(Z \leq 2) \approx 0,9772$$
Per tant:
$$P(Z > 2) = 1 – P(Z \leq 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228$$

Resposta: La probabilitat que un nen tingui una pressió sistòlica superior a 145 mm Hg és 0,0228 (o un 2,28%).

(b) Valor de pressió sistòlica per sota del qual es troba el 75% dels nens

Volem trobar el valor $x$ tal que $P(X \leq x) = 0,75$. Això significa que hem de trobar el quantil corresponent al 75% de la distribució normal estàndard i després transformar-lo al valor de pressió sistòlica.

1. Trobem el valor de $Z$:
   Consultem la taula de la distribució normal estàndard per trobar el valor $z$ tal que $P(Z \leq z) = 0,75$. Segons les taules, aquest valor és aproximadament:
   $$z \approx 0,674$$
2. Transformem $Z$ a $X$:
   Utilitzem la fórmula de l’estandardització inversa:
   $$X = \mu + Z \cdot \sigma$$
   Substituïm:
   $$X = 115 + 0,674 \cdot 15 \approx 115 + 10,11 = 125,11$$

Resposta: El 75% dels nens tenen una pressió sistòlica per sota de 125,11 mm Hg.

Resposta final

(a) La probabilitat que un nen tingui una pressió sistòlica superior a 145 mm Hg és 0,0228 (2,28%).
(b) El valor de pressió sistòlica per sota del qual es troba el 75% dels nens és 125,11 mm Hg.