Discussió d’un sistema d’equacions segons un paràmetre

Discuteix, en funció de $k$, aquest sistema d’equacions $$\begin{cases}4x + 2y = k \\ x + y – z = 2 \\ kx + y + z = 1\end{cases}$$

Representació matricial:
$$\begin{pmatrix}
4 & 2 & 0 & k \\
1 & 1 & -1 & 2 \\
k & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
4 & 2 & 0 & k \\
1 & 1 & -1 & 2 \\
k – 3 & 0 & 0 & 3 – k
\end{pmatrix}$$Cas $k = 3$:
$$\begin{pmatrix}
4 & 2 & 0 & 3 \\
1 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{cases}
x + y – z = 2 \\
4x + 2y = 3
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases}
x – z = 2 – y \\
4x = 3 – 2y
\end{cases}
\rightarrow x = \frac{3 – 2y}{4} = \frac{3}{4} – \frac{y}{2}$$

$$z = x – 2 + y = \frac{3 – 2y}{4} – 2 + y = \frac{-5 + 2y}{4} = \frac{-5}{4} + \frac{y}{2}$$

Sistema incompatible indeterminat.

Solucions:
$$x = \frac{3}{4} – \lambda, \quad y = 2\lambda, \quad z = \frac{-5}{4} + \lambda$$

Cas $k \neq 3$:
Sistema compatible determinat. El resolem:
$$\begin{cases}
x + y – z = 2 \\
4x + 2y = k \\
(k – 3)x = 3 – k
\end{cases}
\rightarrow x = \frac{3 – k}{k – 3} = -1$$

$$y = \frac{k – 4x}{2} = \frac{k + 4}{2} = 2 + \frac{k}{2}$$

$$z = x + y – 2 = -1 + 2 + \frac{k}{2} = 1 + \frac{k}{2}$$

Solució:
$$x = -1, \quad y = 2 + \frac{k}{2}, \quad z = 1 + \frac{k}{2}$$