Partícula sobre corda tensa

Una corda de longitud $L = 60 \, \text{cm}$, lleugerament elàstica, de massa negligible, està sotmesa a la tensió $F = 100 \, \text{N}$. Al punt mitjà de la corda hi ha fixada una partícula de massa $m = 50 \, \text{g}$. Si, com es pot observar a la figura 1.30, apliquem un petit desplaçament transversal $x$ a la partícula i la deixem anar, demostreu que farà un MHS i trobeu-ne la freqüència $f$. Negligiu el pes de la partícula.

Siguem $\theta$ l’angle que forma la corda en un cert instant amb la direcció de l’equilibri. Considerant que $\theta$ és petit i que, per tant, podem aproximar $\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$, la component $x$ de la tensió $F$ val

$$F_x = F \sin \theta \approx F \theta \approx F \frac{x}{L/2}$$

Tenint en compte que hi ha dues tensions i que, per simetria, la component $y$ de la tensió d’una meitat de la corda s’anul·la amb la component $y$ de la tensió de l’altra meitat, deduïm que la força resultant $\mathcal{F}$ que actua sobre la partícula en la direcció de l’eix $x$ i val

$$\mathcal{F}(x) = -\frac{4F}{L} x$$

És, doncs, una força lineal i recuperadora. Per tant, el moviment de la partícula serà un MHS de període

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{mL}{4F}}$$

D’on, substituint els valors numèrics, resulta $f = 1/T = 18,38 \, \text{Hz}$.