Plataforma que fa un MHS horitzontal

Sobre una superfície horitzontal lliure hi ha una plataforma de massa $M = 4 \, \text{kg}$ unida a una molla de força $k = 100 \, \text{N/m}$ – vegeu figura 1.28. Un bloc de massa $m = 1 \, \text{kg}$ reposa al damunt de la plataforma. Entre la plataforma i la base no hi ha fricció, però sí n’hi ha entre el bloc i la plataforma, essent $\mu_s = 0,20$ el coeficient de fricció estàtica. Esbrineu la màxima amplitud d’oscil·lació que pot tenir la plataforma per tal que el bloc no llisqui.

Mentre no llisqui el bloc damunt de la plataforma, tots dos es mouran amb la mateixa acceleració $a$. Com es mostra a la figura 1.29, la plataforma es mou per efecte de la força que fa la molla; el bloc ho fa per la força de fricció estàtica $F_f$ entre la plataforma i el bloc. La segona llei de Newton aplicada al bloc ens diu $F_f = m a$.

D’altra banda, la màxima força de fricció estàtica entre el bloc i la plataforma val, com sabem: $F_{f_{\text{max}}} = \mu_s N = \mu_s m g$. D’aquí veiem que la màxima acceleració horitzontal que es pot aplicar conjuntament al bloc sense que llisqui val, doncs, $a_{\text{max}} = \mu_s g$.

En un MHS de freqüència angular $\omega$ i amplitud $A$, l’acceleració màxima val $a_{\text{max}} = \omega^2 A$. D’aquest resultat i de l’anterior resulta que la condició per tal que no llisqui el bloc sobre la plataforma és

$$\omega^2 A \leq \mu_s g$$

En el nostre cas és la molla arrossegant dues masses la que origina el MHS, conseqüentment, la freqüència $\omega$ del MHS valdrà $\omega^2 = \frac{k}{M + m}$. Així, finalment,

$$A_{\text{max}} = \frac{\mu_s g}{\omega^2} = \frac{\mu_s g (M + m)}{k}$$

Substituint els valors numèrics de l’enunciat trobem $A_{\text{max}} = 9,81 \, \text{cm}$.