Principi d’Arquimedes i MHS

Un bloc de fusta de densitat $\rho_0$ —vegeu figura— deforma un líquid. L’està subjecte en un desplaçament lleugerament amunt o avall, farà un MHS, i trobeu-ne el període.

Per començar, recordem que el principi d’Arquimedes ens diu que tot cos submergit en un fluid experimenta una força ascensional igual al pes del fluid desplaçat. Conseqüentment, en un cos amb una densitat més petita que la de l’aigua hi sura i en ella hi ha una força ascensional d’Arquimedes contraresta el seu pes.

A la figura 1.31 (a), es mostra el bloc surant en equilibri i a la (b), el bloc desplaçat una distància $x$ de la posició d’equilibri. Siguin $L_1$ i $L_2$ les longituds de les parts del bloc fora de l’aigua i de la part submergida, respectivament, en la situació d’equilibri. Si anomenem $m$ la massa del bloc, i la seva secció recta $S$, la densitat de l’aigua, tenim que, en l’equilibri, se satisfà l’equació

$$0 = -mg – S L \rho g \tag{1}$$

Fora de l’equilibri, amb el bloc desplaçat $x$ avall, agafant el sentit com a positiu, si $h = L + x$, la força neta $F$ sobre el bloc val

$$F = -mg – S (L + x) \rho g \tag{2}$$

Substituint (2) en (1), ens dona

$$F = -mg – S (L + x) \rho g = -S \rho g x$$

La força neta és, per tant, de la forma típica del MHS, $F = -kx$, on $k = S \rho g$. Queda, doncs, demostrat, en conseqüència, que el moviment serà un MHS. I, pel que fa al període, com

$$m = S L \rho_0, \text{ tindrem}$$

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{S \rho g}} = 2\pi \sqrt{\frac{L \rho_0}{g \rho}}$$