Onda transversal a una corda

Una ona transversal es propaga a través d’una corda en la direcció positiva de l’eix $X$. La seva amplada és $A = 0.3 \, \text{m}$, la freqüència $f = 20 \, \text{Hz}$ i la seva velocitat de propagació $v = 12 \, \text{m/s}$.

a) Calcula el valor de la longitud d’ona

La relació entre la velocitat de propagació $v$, la freqüència $f$ i la longitud d’ona $\lambda$ és: $v = f \cdot \lambda$

Aïllant $\lambda$: $$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12}{20} = 0.6 \, \text{m}$$

Per tant, la longitud d’ona és $\lambda = 0.6 \, \text{m}.$

b) Escriu l’equació de l’ona

L’equació general per a una ona transversal és: $$y(x,t) = A \sin(kx – \omega t + \phi)$$

on:

• $A$ és l’amplitud,
• $k$ és el nombre d’ona,
• $\omega$ és la freqüència angular,
• $\phi$ és la fase inicial.

Donat que no s’especifica informació sobre la fase inicial $\phi$, assumim que $\phi = 0$, i l’equació de l’ona serà: $$y(x,t) = A \sin(kx – \omega t$$

Pas 1: Calcular el nombre d’ona $k$

El nombre d’ona $k$ es calcula com: $$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$

Substituint el valor de $\lambda = 0.6 \, \text{m}$: $$k = \frac{2\pi}{0.6} \approx 10.47 \, \text{rad/m}$$

Pas 2: Calcular la freqüència angular $\omega$

La freqüència angular ω\omega es relaciona amb la freqüència $f$ a través de la fórmula: $\omega = 2\pi f$

Substituint el valor de $f = 20 \, \text{Hz}$: $$\omega = 2\pi \times 20 = 40\pi \, \text{rad/s}$$

L’equació de l’ona és:

$$y(x,t) = 0.3 \sin(10.47x – 40\pi t)$$

c) Determina l’expressió de la velocitat d’un punt de la corda i calcula el seu valor màxim

La velocitat d’una partícula de la corda és la derivada de la funció d’ona respecte al temps $t$: $$v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}$$

Derivem la funció $y(x,t) = 0.3 \sin(10.47x – 40\pi t)$ respecte al temps $t$: $$v_y(x,t) = 0.3 \cdot (-40\pi) \cos(10.47x – 40\pi t)$$

Simplificant: $$v_y(x,t) = -12\pi \cos(10.47x – 40\pi t)$$

Velocitat màxima:

La velocitat màxima d’una partícula ocorre quan $\cos(10.47x – 40\pi t) = \pm 1$, és a dir, quan el cosinus arriba al seu valor màxim en mòdul $1$. Per tant, la velocitat màxima és: $$v_{\text{max}} = 12\pi \, \text{m/s}$$

Calculant el valor numèric: $$v_{\text{max}} \approx 12 \times 3.1416 \approx 37.7 \, \text{m/s}$$

Resum de respostes:

a) La longitud d’ona és $\lambda = 0.6 \, \text{m}.$
b) L’equació de l’ona és $y(x,t) = 0.3 \sin(10.47x – 40\pi t).$
c) L’expressió de la velocitat d’un punt de la corda és $v_y(x,t) = -12\pi $\cos(10.47x – 40\pi t), i el seu valor màxim és aproximadament $37.7 \, \text{m/s}$