Equació de l’ona d’una corda

Una corda llarga i tensa té un dels seus extrems fixat a una paret. L’altre extrem és subjectat per una persona que li proporciona un moviment vertical sinusoidal amb una freqüència de 2 Hz i una amplitud de 7,5 cm. La velocitat de propagació de l’ona al llarg de la corda és $v = 12 \, \text{m/s}$. En l’instant inicial, $t = 0$, l’extrem subjectat per la persona es troba en la posició de màxim desplaçament vertical positiu i està instantàniament en repòs. Suposem que no existeixen ones que es propaguin des de l’extrem fix de la corda ni tampoc amortiment degut al fregament amb l’aire.

a) Calculeu i expresseu en unitats del Sistema Internacional l’amplitud de l’ona, la freqüència angular, el període, la longitud d’ona i el nombre d’ona.

b) Escriviu una equació que descrigui l’ona.

c) Trobeu la relació entre l’energia que transporta l’ona a la corda i la que transportaria una altra ona en la mateixa corda amb la meitat d’amplitud i la mateixa freqüència.

Dades del problema

• $f = 2 \, \text{Hz}$
• $A = 7{,}5 \, \text{cm} = 0{,}075 \, \text{m}$
• $v = 12 \, \text{m/s}$

a) Càlcul de magnituds bàsiques

Amplitud:

$A = 0{,}075 \, \text{m}$

Freqüència angular $\omega$:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 = 4\pi \, \text{rad/s} \approx 12{,}57 \, \text{rad/s}$

Període $T$:

$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \, \text{s}$

Longitud d’ona $\lambda$:

λ=vf=122=6 m\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{m}$

Nombre d’ona $k$:

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \, \text{rad/m} \approx 1{,}047 \, \text{rad/m}$

b) Equació de l’ona

L’ona es propaga cap a la dreta. A $t = 0$, el punt inicial està al màxim desplaçament positiu i en repòs → el cosinus és la funció adequada: $$y(x,t) = A \cos(kx – \omega t)$$

Substituint valors: $$y(x,t) = 0{,}075 \cos\left(\frac{\pi}{3}x – 4\pi t\right) \quad \text{(en metres)}$$

c) Relació entre energies

L’energia mitjana transportada per una ona en una corda és proporcional a $$A^2 \omega^2$, és a dir: $E \propto A^2 \omega^2

Si es manté la mateixa freqüència (i per tant la mateixa $\omega$), però l’amplitud es redueix a la meitat $A’ = \frac{A}{2}$, llavors: $$\frac{E’}{E} = \left( \frac{A’}{A} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$$

Conclusió: L’ona amb la meitat d’amplitud transporta una quarta part de l’energia de l’ona original.