Càlcul de Valors i Vectors Propis d’una Matriu 3×3 amb Valor Propi de Multiplicitat 2

Es té la matriu $3 \times 3$$$A=\left(\begin{array}{rrr}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)$$Determina el seu polinomi característic, els seus valors propis i els seus vectors propis.

El polinomi característic es defineix com$$f(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)$$Tenim que$$\begin{aligned}& f(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}-13-\lambda & -8 & -4 \\12 & 7-\lambda & 4 \\24 & 16 & 7-\lambda\end{array}\right)= \\& =-(\lambda+13) \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}7-\lambda & 4 \\16 & 7-\lambda\end{array}\right)+8 \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}12 & 4 \\24 & 7-\lambda\end{array}\right)-4 \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}12 & 7-\lambda \\24 & 16\end{array}\right)= \\& =-(\lambda+13)\left((7-\lambda)^2-64\right)+8(12(7-\lambda)-96)-4(192-24(7-\lambda))= \\& 5 \lambda+\lambda^2-\lambda^3+3 \\& =-\lambda^3+\lambda^2+5 \lambda+3=-(\lambda-3)(\lambda+1)^2 \\&\end{aligned}$$El polinomi característic és$$f(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-5 \lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)^2$$Notem que el coeficient de $\lambda^3$ és 1, el coeficient de $\lambda^2$ és menys la traça de la matriu i el darrer terme és$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)=3$$Els valors propis són$$\lambda_1=3 ; \quad \lambda_2=-1 ; \quad \lambda_3=-1$$És a dir, el valor propi -1 té multiplicitat 2.El vector propi corresponent al valor propi 3 es troba resolent el sistema d’equacions$$\begin{aligned}& \left(\begin{array}{ccc}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right) \\& \left(\begin{array}{ccc}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)-3\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16 x-8 y-4 z \\12 x+4 y+4 z \\24 x+16 y+4 z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\0\end{array}\right)\end{aligned}$$Per trobar la solució utilitzem el mètode d’eliminació de Gauss.Però primer notem que el 4 és un factor comú i el factoritzem$$\left(\begin{array}{ccc}-16 & -8 & -4 \\12 & 4 & 4 \\24 & 16 & 4\end{array}\right) \rightarrow \left(\begin{array}{ccc}-4 & -2 & -1 \\3 & 1 & 1 \\6 & 4 & 1\end{array}\right)$$Ara $$\begin{aligned}& \left(\begin{array}{ccc}-4 & -2 & -1 \\0 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\0 & -2 & \frac{1}{2}\end{array}\right) \xrightarrow{2 R_2 + R_3} \left(\begin{array}{ccc}-4 & -2 & -1 \\0 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\0 & 0 & 0\end{array}\right) \xrightarrow{-4 R_2 + R_1} \left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & -2 \\0 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\0 & 0 & 0\end{array}\right) \\& \left(\begin{array}{ccc}-4 & 0 & -2 \\0 & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\0 & 0 & 0\end{array}\right) \xrightarrow{\frac{1}{2} R_1, \frac{4}{5} R_2} \left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 1 \\0 & -2 & 1 \\0 & 0 & 0\end{array}\right) \\&\end{aligned}$$Ens queda el sistema d’equacions$$\begin{aligned}& 2 x + z = 0 \\& -2 y + z = 0\end{aligned}$$que representa la intersecció de dos plans, és a dir, una recta.Prenent $z$ com a paràmetre i anomenant-lo $t$,$$(x, y, z) = t \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right) \text{ amb } t \neq 0 \text{.}$$Prenem com a vector propi el vector $\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1 \right)$ normalitzat; és a dir,$$\frac{1}{\sqrt{6}}(-1, 1, 2)$$El vector propi corresponent al valor propi -1 es troba resolent el sistema d’equacions$$\begin{aligned}& \left(\begin{array}{ccc}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right) \\& \left(\begin{array}{ccc}-13 & -8 & -4 \\12 & 7 & 4 \\24 & 16 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}x \\y \\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-12 x – 8 y – 4 z \\12 x + 8 y + 4 z \\24 x + 16 y + 8 z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\0 \\0\end{array}\right) \\&\end{aligned}$$Per trobar la solució, simplement fem$$\left(\begin{array}{ccc}-12 & -8 & -4 \\12 & 8 & 4 \\24 & 16 & 8\end{array}\right) \xrightarrow{-\frac{1}{4} R_1, \frac{1}{4} R_2, \frac{1}{8} R_3} \left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\3 & 2 & 1 \\3 & 2 & 1\end{array}\right)$$Així doncs, tenim una sola equació$$3 x + 2 y + z = 0$$que representa un pla que passa per l’origen.L’espai propi corresponent al valor propi -1 de multiplicitat 2 és un espai de dues dimensions, un pla. Qualsevol parell de vectors linealment independents en el pla esmentat funcionen com a vectors propis; tanmateix, els obtindrem d’una manera que es pugui sistematitzar.Recordem que l’expressió del pla $3 x + 2 y + z = 0$ es pot escriure com $\widehat{n} \cdot (x, y, z) = 0$ on $\widehat{n} = (3, 2, 1)$ és el vector normal al pla. Ara necessitem dos vectors que estiguin en el pla i que siguin linealment independents. El primer el prenem simplement ortogonal a $\widehat{n}$, la qual cosa garanteix que estigui en el pla; un de molt senzill és $(-2, 3, 0)$. Per al segon, simplement utilitzem el producte vectorial de $\widehat{n}$ amb $(-2, 3, 0)$, és a dir,$$(3, 2, 1) \times (-2, 3, 0) = \left( \begin{array}{ccc} -3 & -2 & 13 \end{array} \right)$$Així, tenim com a base ortogonal del subespai propi els vectors $(-2, 3, 0)$ i $(-3, -2, 13)$. Normalitzant, obtenim una base ortonormal formada per $\frac{1}{\sqrt{13}}(-2, 3, 0)$ i $\frac{1}{\sqrt{182}}(-3, -2, 13)$, que són els que prenem també com a vectors propis.$$\left\{ \left( \begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{1}{\sqrt{6}} \\\frac{2}{\sqrt{6}}\end{array} \right) \right\} \mapsto 3, \quad \left\{ \begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{13}} \left( \begin{array}{c}-2 \\3 \\0\end{array} \right), \frac{1}{\sqrt{182}} \left( \begin{array}{c}-3 \\-2 \\13\end{array} \right) \end{array} \right\} \mapsto -1$$