Diagonalització d’una Matriu 3×3 amb Paràmetre: Anàlisi i Forma Canònica de Jordan

Dada la següent matriu:

$$
\left(\begin{array}{rrr}
a & 0 & 0 \\
4 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 1
\end{array}\right)
$$

a) Analitzeu si és diagonalitzable, per als diferents valors del paràmetre $a$.
b) Especifiqueu per a $a=0$ la matriu diagonal semblant a ella i, si no existeix aquesta matriu diagonal, indiqueu la matriu diagonal per blocs o forma canònica de Jordan.
c) Si $a=0$, quins valors han de prendre $\mathrm{v}_2$ i $\mathrm{v}_3$ perquè $\left(0, \mathrm{v}_2, \mathrm{v}_3\right)$ sigui un vector propi associat al valor propi 0?

Solució:

a) Una matriu és diagonalitzable si existeix una base formada pels vectors propis d’aquesta matriu i, perquè això es compleixi, s’ha de verificar la següent igualtat:

$$
r g\left(A-\lambda_i I\right)=n-\alpha_i
$$

igualtat que els valors propis simples verifiquen sempre, per la qual cosa només hem de veure si es compleix per a aquells valors propis amb ordre de multiplicitat major que u.

En el nostre problema, els valors propis serien els següents:

$$
\begin{aligned}
|A-\lambda|=\left|\begin{array}{ccc}
a-\lambda & 0 & 0 \\
4 & 1-\lambda & -1 \\
4 & -1 & 1-\lambda
\end{array}\right| & =(a-\lambda)(1-\lambda)^2-(a-\lambda)=(a-\lambda)\left[(1-\lambda)^2-1\right]= \\
& =(a-\lambda)\left(\lambda^2-2 \lambda\right)=(a-\lambda) \lambda(\lambda-2)=0\end{aligned}$$

$$\begin{cases}\lambda_1 & =a \\
\lambda_2 & =0 \\
\lambda_3 & =2\end{cases}$$

A continuació, haurem d’estudiar tres casos diferents:

1) Si el paràmetre $a$ és diferent de 0 i 2, aleshores tenim tres valors propis diferents, la qual cosa implica que la matriu és diagonalitzable, ja que cada valor propi té un vector propi associat que és independent dels altres.

Si $a$ pren el valor 0, tenim un valor propi doble i un altre simple, per la qual cosa hem d’estudiar si el valor doble verifica la regla del rang. Així tenim:

$$
\begin{cases}
& \lambda_1=0 \quad \alpha_1=2 \\
& \lambda_2=2 \quad \alpha_2=1 \\
& r g\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
4 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 1
\end{array}\right)=2 \neq 3-2 \\
&
\end{cases}
$$

per tant, la matriu no és diagonalitzable per a aquest cas.

2) Finalment, hem d’estudiar el cas en què $a$ pren el valor 2, perquè també tindríem un valor propi doble que podria causar problemes. Així tenim:

$$
\begin{cases}
& \lambda_1=2 \quad \alpha_1=2 \\
& \lambda_2=0 \quad \alpha_2=1 \\
& r g\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
4 & -1 & -1 \\
4 & -1 & -1
\end{array}\right)=1=3-2
\end{cases}
$$

per tant, en aquest cas la matriu sí seria diagonalitzable.

b) Ja hem vist que per al cas en què $a$ val 0 la matriu no és diagonalitzable, per tant, no podem trobar una matriu semblant a ella que sigui diagonal, però sí que podem trobar una matriu diagonal per blocs o forma canònica de Jordan, la qual té la forma:

$$
J=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$

c) Sabem que un vector propi, $v$, associat a un valor propi $\lambda$, verifica el següent:

$$
(A-\lambda I) v=0
$$

per tant, perquè el vector $v=\left(0, v_2, v_3\right)$ sigui un vector propi associat al valor propi 0, s’ha de complir que:

$$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
4 & 1 & -1 \\
4 & -1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
0 \\
v_2 \\
v_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right)
$$

per la qual cosa:

$$
\begin{cases}
v_2-v_3=0 \\
-v_2+v_3=0
\end{cases}
$$

de la qual cosa s’extreu com a conclusió que $v_2=v_3$.