Moviment Rotacional d’una Roda

Una roda, alliberada des de repòs, està girant amb una acceleració angular constant de $2,6$ rad/s$^2$. A $6,0$ s després del seu alliberament: (a) Quin és la seva velocitat angular? (b) Per quin angle ha girat la roda? (c) Quantes revolucions ha completat? (d) Quin és la velocitat lineal, i quina és la magnitud de l’acceleració lineal, d’un punt a $0,30$ m de l’eix de rotació?

Com que l’acceleració angular és constant, podem trobar les diverses quantitats físiques requerides en aquest problema utilitzant equacions d’acceleració constant.

(a)

Utilitzant una equació d’acceleració constant, relaciona la velocitat angular de la roda amb la seva acceleració angular:

\[\omega = \omega_0 + \alpha t \quad \text{o, quan } \omega_0 = 0, \quad \omega = \alpha t\]

Avalua quan \(\Delta t = 6 \, \text{s}\):

\[\omega = (2.6 \, \text{rad/s}^2)(6.0 \, \text{s}) = 15.6 \, \text{rad/s} \approx 16 \, \text{rad/s}\]

(b)

Utilitzant una altra equació d’acceleració constant, relaciona el desplaçament angular amb l’acceleració angular de la roda i el temps que ha estat accelerant:

\[\Delta \theta = \omega_0 \Delta t + \frac{1}{2} \alpha (\Delta t)^2 \quad \text{o, quan } \omega_0 = 0, \quad \Delta \theta = \frac{1}{2} \alpha (\Delta t)^2\]

Avalua \(\Delta \theta\) quan \(\Delta t = 6 \, \text{s}\):

\[\Delta \theta = \frac{1}{2} (2.6 \, \text{rad/s}^2)(6.0 \, \text{s})^2 = 46.8 \, \text{rad} \approx 47 \, \text{rad}\]

(c)

Converteix \(\Delta \theta (6.0 \, \text{s})\) de radians a revolucions:

\[\Delta \theta (6.0 \, \text{s}) = 46.8 \, \text{rad} \times \frac{1 \, \text{rev}}{2\pi \, \text{rad}} \approx 7.4 \, \text{rev}\]

(d)

Relaciona la velocitat angular de la partícula amb la seva velocitat tangencial i avalua aquesta última quan \(\Delta t = 6.0 \, \text{s}\):

\[v = r \omega = (0.30 \, \text{m})(15.6 \, \text{rad/s}) \approx 4.7 \, \text{m/s}\]

Relaciona l’acceleració resultant del punt amb les seves acceleracions tangencial i centrípeta quan \(\Delta t = 6.0 \, \text{s}\):

\[a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{(r \alpha)^2 + (r \omega^2)^2}\]

Substitueix els valors numèrics i avalua \(a\):

\[a = \sqrt{(0.30 \, \text{m} \cdot 2.6 \, \text{rad/s}^2)^2 + (0.30 \, \text{m} \cdot (15.6 \, \text{rad/s})^2)^2} \approx 73 \, \text{m/s}^2\]