Càlcul de la Velocitat Angular en una Cassete VHS

La cinta d’una casset de vídeo VHS estàndard té una longitud total de $246$ m que permet que la cinta es reprodueixi durant $2.0$ h (Fig 1). Quan la cinta comença, el rodet ple té un radi exterior de $45$ mm i un radi interior de $12$ mm. En algun moment durant la reproducció, ambdós rodets tenen la mateixa velocitat angular. Calcula aquesta velocitat angular en radians per segon i en revolucions per minut.

Relaciona la velocitat angular d’una cinta amb la seva velocitat tangencial quan les bobines tenen la mateixa velocitat angular:

$$\alpha_t = \frac{v}{R_f}\label{eq:alfaeq}$$

En l’instant en què ambdues bobines tenen la mateixa àrea:

$$\pi R_t^2 – \pi r^2 = \frac{1}{2} \left( \pi R^2 – \pi r^2 \right)$$

Resolent per $R_t$, s’obté:

$$R_t = \sqrt{\frac{R^2 + r^2}{2}}$$

Expressa la velocitat tangencial de la cinta en termes de la seva longitud $L$ i el temps de funcionament $T$:

$$v = \frac{L}{T}$$

Substituint $R_f$ i $v$ a l’equació \eqref{eq:alfaeq}, es té:

$$\omega_i = \frac{\frac{L}{T}}{\sqrt{\frac{R^2 + r^2}{2}}} = \frac{L}{T} \cdot \sqrt{\frac{2}{R^2 + r^2}}$$

Substitueix els valors numèrics i avalua $R_f$:

$$246 \, \text{m}, \, 2.0 \, \text{h} \times 3600 \, \text{s}, \, (45 \, \text{mm})^2 + (12 \, \text{mm})^2, \, h = 1.04 \, \text{rad/s} \times \frac{1 \, \text{rev}}{2 \pi \, \text{rad}} \times \frac{60 \, \text{s}}{\text{min}} = \boxed{9.9 \, \text{rev/min}}$$

en $1.04 \, \text{rad/s} \approx 1.0 \, \text{rad/s}$.