Moviment d’una pilota

Una pilota es llança amb una velocitat de 10 m/s dirigida verticalment cap amunt des d’una finestra ubicada a 20 m sobre el sòl. Si se sap que la acceleració de la pilota és constant i igual a 9.81 m/s², determineu: a) La velocitat i la elevació màxima que la pilota sobre el sòl en qualsevol instant. b) La elevació màxima que la pilota arriba la pilota i el valor corresponent de $t$. c) El temps en què la pilota colpeja el sòl i la velocitat corresponent. Dibuixeu les corbes $v-t$ i $y-t$.

a) Velocitat i elevació. L’eix $y$ que mesura la coordenada de posició (o elevació) se situa amb el seu origen $O$ sobre el sòl i el sentit positiu cap amunt. El valor de l’acceleració i els valors inicials de $y$ i $v$ són com se indica. Al substituir $a$ en $\frac{dv}{dt} = a$ i observar que en $t = 0$, $v_0 = +10 \, \text{m/s}$, es té

$$\frac{dv}{dt} = a = -9.81 \, \text{m/s}^2$$

$$\int_{v_0}^{v} dv = -\int_0^t 9.81 \, dt$$

$$[v]_0^{v} = [-9.81t]_0^t$$

$$v – 10 = -9.81t$$

Al substituir $v = \frac{dy}{dt}$ i observar que en $t = 0$, $y_0 = 20 \, \text{m}$, es té

$$\frac{dy}{dt} = v = 10 – 9.81t$$

$$\int_{y_0}^{y} dy = \int_0^t (10 – 9.81t) \, dt$$

$$[y]_{20}^{y} = \left[10t – 4.905t^2\right]_0^t$$

$$y – 20 = 10t – 4.905t^2$$

$$y = 20 + 10t – 4.905t^2 \tag{1}$$

b) Màxima elevació. Quan la pilota arriba la seva màxima elevació, es té $v = 0$. Al substituir en (1), s’obté

$$10 – 9.81t = 0 \quad t = 1.019 \, \text{s}$$

Al substituir $t = 1.019 \, \text{s}$ en (2), es té

$$y = 20 + 10(1.019) – 4.905(1.019)^2 \quad y = 25.1 \, \text{m}$$

c) La pilota colpeja el sòl. Quan la pilota colpeja el sòl, es té $y = 0$. Al substituir en (2), s’obté

$$20 + 10t – 4.905t^2 = 0 \quad t = -1.243 \, \text{s} \quad \text{i} \quad t = +3.25 \, \text{s}$$

S’escull $t = +3.25 \, \text{s}$ corresponent a un temps després de que el moviment hagi iniciat. Al substituir en (1), es té

$$v = 10 – 9.81(3.25) = -22.2 \, \text{m/s}$$