Xocs i molles

Un projectil de massa $m = 10 \, \text{g}$, que va a la velocitat $v_0 = 500 \, \text{m/s}$, acaba impactant contra un bloc de massa $M = 2 \, \text{kg}$ i s’incrusta dins del bloc. El bloc està unit a una molla de constant de força $k = 100 \, \text{N/m}$, fixada a una paret, tal com es mostra a la figura.

Tant el bloc com la molla es troben sobre una superfície horitzontal llisa. Si prenem com a $t = 0$ l’instant de l’impacte i com $x = 0$ la posició inicial del bloc, en repòs i en equilibri, es demana:

a) Quin serà el moviment posterior del bloc i

b) La força màxima que fa la molla sobre la paret.

a) Suposem que l’impacte és instantani. El moviment del bloc posterior a l’impacte serà un MHS.

$$x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \tag{1}$$

en què la posició d’equilibri coincideix amb l’origen de $x$. Ara només cal esbrinar quant valen $A$, $\omega$ i $\phi$.

• Comencem per $\omega$. Després de l’impacte, oscil·larà el conjunt bloc més bala, de massa $M + m$; per tant, la $\omega$ corresponent serà

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{M + m}}$$

Aquí tens la traducció al català del text, mantenint les expressions matemàtiques i els valors numèrics tal com estan:

resultat, obtenim $\omega = 7.053 \, \text{rad/s}$.

• Per què fa a l’amplitud, la trobarem aplicant els principis de conservació. Després de l’impacte, el conjunt bloc més bala surt llançat a la velocitat $v_1$, donada per conservació de la quantitat de moviment $m v_0 = (M + m) v_1$, i d’aquí

$$v_1 = \frac{m}{M + m} v_0$$

És a dir, $v_1 = 2.488 \, \text{m/s}$. A $t = 0$, el conjunt té una energia cinètica que s’anirà transformant en potencial elàstica a mesura que la molla es vagi comprimint. A l’instant en què el conjunt arriba al repòs, la molla ja no es comprimeix més. Aleshores, tota l’energia cinètica inicial del conjunt —no del projectil— s’ha transformat en energia potencial. Per tant, tindrem

$$\frac{1}{2} (M + m) v_1^2 = \frac{1}{2} k A^2$$

D’aquí deduïm l’equació anterior, surt

$$A = v_1 \sqrt{\frac{M + m}{k}}
\tag{2}$$

i, substituint, $A = 0.3527 \, \text{m}$. Podem comprovar aquests resultats verificant que el producte $\omega A$, val, en efecte, la velocitat màxima del conjunt, és a dir, la inicial $v_1$.

• La fase inicial $\phi$). Per a $t = 0$, tenim $x = 0$ i $v = v_1$; per tant, d’(1)

$$0 = A \cos \phi \quad \text{i} \quad v_1 = -\omega A \sin \phi > 0$$

d’on resulta $\phi = 3\pi / 2$; finalment,

$$x(t) = A \sin \omega t
\tag{3}$$

amb $A$ i $\omega$ a la anteriors.

b) Pel que fa a la força $F$ que fa la molla sobre la paret —i aquesta sobre l’extrem de la molla—, val $F = -kx$, amb la $x$ donada per (3). Consegüentment, per (2) la força màxima, en valor absolut, valdrà

$$F_{\text{màx}} = k A = m v_0 \sqrt{\frac{k}{M + m}}$$

d’on, substituint, resulta $F_{\text{màx}} = 35.27 \, \text{N}$.