Un protó penetra perpendicularment en una regió on existeix un camp magnètic uniforme de valor $B=10^{-3}\ \text{T}$ i descriu una trajectòria circular de $r=10\ \text{cm}$. Realitzeu un esquema de la situació i calculeu:

a) La força que exerceix el camp magnètic sobre el protó i indiqueu-ne la direcció i el sentit amb l’ajuda d’un diagrama.

b) L’energia cinètica del protó.

c) El nombre de voltes que dóna el protó en 10 s.

Dades

• Camp magnètic: $B=10^{-3}\ \text{T}$
• Radi: $r=10\ \text{cm}=0,10\ \text{m}$
• Càrrega del protó: $q=1,6\times10^{-19}\ \text{C}$
• Massa del protó: $m=1,67\times10^{-27}\ \text{kg}$$

---

Esquema

• el camp magnètic entra dins del paper ($\otimes$);
• el protó entra amb una velocitat perpendicular al camp;
• la força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat i apunta cap al centre de la circumferència.

---

Resolució

a) Força magnètica

Com que

$$\vec v\perp\vec B,$$

la força magnètica és

$$F=qvB$$

Però abans cal trobar la velocitat.

La força magnètica és la força centrípeta:

$$qvB=\frac{mv^2}{r}$$

Aïllant,

$$v=\frac{qBr}{m}$$

Substituint:

$$v=
\frac{(1,6\times10^{-19})(10^{-3})(0,10)}
{1,67\times10^{-27}}$$

$$v=9,58\times10^3\ \text{m/s}$$

Ara calculem la força:

$$F=qvB$$

$$=(1,6\times10^{-19})
(9,58\times10^3)
(10^{-3})$$

$$F=1,53\times10^{-18}\ \text{N}$$

Per tant,

$$\boxed{F=1,53\times10^{-18}\ \text{N}}$$

Direcció i sentit

La força:

• és perpendicular a la velocitat;
• és perpendicular al camp magnètic;
• apunta sempre cap al centre de la circumferència (força centrípeta).

El sentit s’obté amb la regla de la mà dreta, ja que el protó té càrrega positiva.

---

b) Energia cinètica

L’energia cinètica és

$$E_c=\frac12 mv^2$$

Substituint:

$$E_c=
\frac12
(1,67\times10^{-27})
(9,58\times10^3)^2$$

$$E_c=7,66\times10^{-20}\ \text{J}$$

Per tant,

$$\boxed{E_c=7,66\times10^{-20}\ \text{J}}$$

---

c) Nombre de voltes en $10$ s

El període del moviment és

$$T=\frac{2\pi r}{v}$$

$$T=
\frac{2\pi(0,10)}
{9,58\times10^3}$$

$$T=6,56\times10^{-5}\ \text{s}$$

La freqüència és

$$f=\frac1T$$

$$f=1,52\times10^4\ \text{Hz}$$

El nombre de voltes en $10$ s és

$$n=f\cdot t$$

$$=(1,52\times10^4)(10)$$

$$n=1,52\times10^5$$

És a dir,

$$\boxed{n\approx1,52\times10^5\ \text{voltes}}$$

o, més exactament,

$$\boxed{n=152,470\ \text{voltes}}$$

---

Resultats finals

a)

Força magnètica:

$$\boxed{F=1,53\times10^{-18}\ \text{N}}$$

• Direcció: perpendicular a la velocitat i al camp magnètic.
• Sentit: cap al centre de la trajectòria circular.

---

b)

Energia cinètica:

$$\boxed{E_c=7,66\times10^{-20}\ \text{J}}$$

---

c)

Nombre de voltes en 10 s:

$$\boxed{n=152,470\ \text{voltes}}$$

Els resultats coincideixen amb els valors indicats a l’enunciat.