Un protó i una partícula alfa, prèviament accelerats des del repòs mitjançant diferències de potencial diferents, entren en una regió de l’espai on existeix un camp magnètic uniforme $B=2\ \text{T},$ perpendicular a les velocitats amb què arriben. S’observa que totes dues partícules descriuen trajectòries circulars amb el mateix radi. Sabent que la velocitat del protó és $v_p=10^7\ \text{m/s},$ calculeu:

a) El radi de la trajectòria.

b) El quocient $\dfrac{v_\alpha}{v_p}.$

c) La diferència de potencial amb què s’ha accelerat cadascuna de les partícules.

Dades

$$B=2\ \text{T}$$

$$q_p=1,602\times10^{-19}\ \text{C}$$

$$m_p=1,672\times10^{-27}\ \text{kg}$$

$$m_\alpha=6,646\times10^{-27}\ \text{kg}$$

$$q_\alpha=2q_p
=3,204\times10^{-19}\ \text{C}$$

---

a) Radi de la trajectòria

Quan una partícula entra perpendicularment al camp magnètic,

$$F_B=F_c$$

és a dir,

$$qvB=\frac{mv^2}{r}$$

Aïllant,

$$r=\frac{mv}{qB}$$

Per al protó,

$$r=
\frac{(1,672\times10^{-27})(10^7)}
{(1,602\times10^{-19})(2)}$$

$$r=5,22\times10^{-2}\ \text{m}$$

Per tant,

$$\boxed{r=5,22\times10^{-2}\ \text{m}=5,22\ \text{cm}}$$

---

b) Relació entre les velocitats

Les dues partícules tenen el mateix radi.

Per tant, $$\frac{m_pv_p}{q_p} = \frac{m_\alpha v_\alpha}{q_\alpha}$$

Aïllant, $$\frac{v_\alpha}{v_p} = \frac{m_pq_\alpha} = {m_\alpha q_p}$$

Com que

$$q_\alpha=2q_p,$$

queda $$\frac{v_\alpha}{v_p} = \frac{2m_p}{m_\alpha}$$

Substituint, $$\frac{v_\alpha}{v_p} = \frac{2(1,672)} = {6,646}$$

$$\boxed{\frac{v_\alpha}{v_p}=0,503}$$

Així, $$v_\alpha = 0,503\cdot10^7$$

$$\boxed{v_\alpha=5,03\times10^6\ \text{m/s}}$$

---

c) Diferència de potencial

Quan una càrrega s’accelera des del repòs,

$$q\Delta V=\frac12 mv^2$$

---

Protó

$$\Delta V_p =\frac{mv^2}{2q}$$

Substituint, $$\frac{(1,672\times10^{-27})(10^7)^2}
{2(1,602\times10^{-19})}$$

$$\boxed{\Delta V_p=5,22\times10^5\ \text{V}}$$

és a dir,

$$\boxed{\Delta V_p=522\ \text{kV}}$$

---

Partícula alfa

$$\Delta V_\alpha = \frac{m_\alpha v_\alpha^2}
{2q_\alpha}$$

Substituint, $$\frac{(6,646\times10^{-27})
(5,03\times10^6)^2}
{2(3,204\times10^{-19})}$$

$$\boxed{\Delta V_\alpha=2,62\times10^5\ \text{V}}$$

és a dir,

$$\boxed{\Delta V_\alpha=262\ \text{kV}}$$

---

Resultats finals

a) Radi

$$\boxed{r=5,22\times10^{-2}\ \text{m}=5,22\ \text{cm}}$$

---

b) Relació entre les velocitats

$$\boxed{\frac{v_\alpha}{v_p}=0,503}$$

$$\boxed{v_\alpha=5,03\times10^6\ \text{m/s}}$$

---

c) Diferències de potencial

Protó:

$$\boxed{\Delta V_p=5,22\times10^5\ \text{V}=522\ \text{kV}}$$

Partícula alfa:

$$\boxed{\Delta V_\alpha=2,62\times10^5\ \text{V}=262\ \text{kV}}$$

Observació

Es pot comprovar que, tot i que la partícula alfa té una massa aproximadament quatre vegades superior a la del protó, la seva càrrega és el doble. Per això, per descriure una òrbita del mateix radi en el mateix camp magnètic, la seva velocitat ha de ser aproximadament la meitat de la del protó i la diferència de potencial necessària resulta també aproximadament la meitat.