En un punt (P) de l’espai existeix un camp magnètic uniforme dirigit en el sentit negatiu de l’eix (X), donat per $\vec{B}=-1,4\cdot10^{-5},\vec{i};(\text{T})$ a) Calculeu la força magnètica que actua sobre una partícula de càrrega $q=2\cdot10^{-6}; \text{C}$ quan passa pel punt (P), si la seva velocitat és: i) $\vec v_1=4\cdot10^4,\vec{k};(\text{m/s})$ ii) $\vec v_2=5\cdot10^4,\vec{j};(\text{m/s})$ iii) $\vec v_3=7,5\cdot10^4,\vec{i};(\text{m/s})$ b) Calculeu el radi de l’òrbita descrita per la partícula si té una massa $m=6\cdot10^{-15}\ \text{kg}$ i una velocitat $\vec v_1=4\cdot10^4,\vec{k};(\text{m/s})$ c) En el punt (P) es col·loca un fil conductor situat sobre l’eix (Y), de longitud $L=150\ \text{cm}$ pel qual circula un corrent $I=4\ \text{A}$ en el sentit negatiu de l’eix (Y). Determineu el vector força que actua sobre el conductor.

---

a) Força magnètica sobre la càrrega

La força de Lorentz és

$$\boxed{\vec F=q,\vec v\times\vec B}$$

on

$$\vec B=-1,4\times10^{-5},\vec i$$

---

i)

$$\vec v_1=4\times10^4,\vec k$$

Calculem el producte vectorial:

$$\vec k\times(-\vec i)
=-(\vec k\times\vec i)
=-\vec j$$

Per tant,

$$\vec F
=qvB(-\vec j)$$

El mòdul és

$$F
=(2\times10^{-6})
(4\times10^4)
(1,4\times10^{-5})$$

$$F=1,12\times10^{-6}\ \text{N}$$

Per tant,

$$\boxed{\vec F_1=-1,12\times10^{-6},\vec j\ \text{N}}$$

---

ii)

$$\vec v_2=5\times10^4,\vec j$$

Com que

$$\vec j\times(-\vec i)
=+\vec k$$

tenim

$$\vec F=qvB,\vec k$$

El mòdul és

$$F=(2\times10^{-6})
(5\times10^4)
(1,4\times10^{-5})$$

$$F=1,4\times10^{-6}\ \text{N}$$

Per tant,

$$\boxed{\vec F_2=1,4\times10^{-6},\vec k\ \text{N}}$$

---

iii)

$$\vec v_3=7,5\times10^4,\vec i$$

Com que la velocitat és paral·lela al camp,

$$\vec v\times\vec B=0$$

Per tant,

$$\boxed{\vec F_3=0}$$

---

b) Radi de la trajectòria

Quan

$$\vec v\perp\vec B,$$

la força magnètica és la força centrípeta.

$$qvB=\frac{mv^2}{r}$$

Aïllant,

$$r=\frac{mv}{qB}$$

Substituint:

$$r=
\frac{(6\times10^{-15})(4\times10^4)}
{(2\times10^{-6})(1,4\times10^{-5})}$$

Numerador:

$$2,4\times10^{-10}$$

Denominador:

$$2,8\times10^{-11}$$

Finalment,

$$r=8,57\ \text{m}$$

$$\boxed{r=8,57\ \text{m}}$$

---

c) Força sobre el conductor

La força és

$$\boxed{\vec F=I,\vec L\times\vec B}$$

El vector longitud és

$$\vec L=-1,5,\vec j$$

ja que el corrent circula en el sentit negatiu de l’eix $Y$.

El camp és

$$\vec B=-1,4\times10^{-5},\vec i$$

Calculem el producte vectorial:

$$(-\vec j)\times(-\vec i)
=\vec j\times\vec i
=-\vec k$$

El mòdul és

$$F=ILB$$

$$=(4)(1,5)(1,4\times10^{-5})$$

$$F=8,4\times10^{-5}\ \text{N}$$

Per tant,

$$\boxed{\vec F=-8,4\times10^{-5},\vec k\ \text{N}}$$

---

Resultats finals

a)

i)

$$\boxed{\vec F_1=-1,12\times10^{-6},\vec j\ \text{N}}$$

ii)

$$\boxed{\vec F_2=1,4\times10^{-6},\vec k\ \text{N}}$$

iii)

$$\boxed{\vec F_3=0}$$

---

b)

$$\boxed{r=8,57\ \text{m}}$$

---

c)

$$\boxed{\vec F=-8,4\times10^{-5},\vec k\ \text{N}}$$