Moviment d’un Objecte sotmès a Forces Constants

Un objecte de massa \( m = 4 \, \text{kg} \) està sotmès a l’acció de dues forces constants: \( \vec{F}_1 = \hat{\imath} – 2 \hat{\jmath} \, \text{N} \) i \( \vec{F}_2 = \hat{\imath} + \hat{\jmath} \, \text{N} \) (en unitats del Sistema Internacional). L’objecte parteix de l’origen de coordenades (\( \vec{r}_0 = 0 \)) i està en repòs (\( \vec{v}_0 = 0 \)) en el temps \( t = 0 \). Calculeu que l’acceleració de l’objecte i determineu el vector velocitat, el vector posició i el mòdul de la posició en el temps \( t = 3 \, \text{s} \).

Per resoldre aquest problema, calcularem l’acceleració, la velocitat i la posició (vector i mòdul) de l’objecte de massa \( m = 4 \, \text{kg} \) sotmès a dues forces, \( \vec{F}_1 = \hat{\imath} – 2 \hat{\jmath} \) i \( \vec{F}_2 = \hat{\imath} + \hat{\jmath} \) (en unitats SI, és a dir, Newtons), en el temps \( t = 3 \, \text{s} \). L’objecte està inicialment en repòs (\( \vec{v}_0 = 0 \)) a l’origen (\( \vec{r}_0 = 0 \)) a \( t = 0 \).

Pas 1: Calcular la força neta. La força neta \( \vec{F}_{\text{net}} \) és la suma vectorial de les dues forces:\[ \vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (\hat{\imath} – 2 \hat{\jmath}) + (\hat{\imath} + \hat{\jmath}) \]Sumem les components:

– Component \( x \): \( 1 + 1 = 2 \)

– Component \( y \): \( -2 + 1 = -1 \)Per tant:\[ \vec{F}_{\text{net}} = 2 \hat{\imath} – \hat{\jmath} \, \text{N} \]

Pas 2: Calcular l’acceleració. Segons la segona llei de Newton, l’acceleració \( \vec{a} \) és:\[ \vec{a} = \frac{\vec{F}_{\text{net}}}{m} \]Substituïm:\[ \vec{a} = \frac{2 \hat{\imath} – \hat{\jmath}}{4} = \frac{2}{4} \hat{\imath} – \frac{1}{4} \hat{\jmath} = 0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath} \, \text{m/s}^2 \]L’acceleració és constant:\[ \vec{a} = 0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath} \, \text{m/s}^2 \]

Pas 3: Calcular la velocitat. Com que l’acceleració és constant i l’objecte parteix en repòs (\( \vec{v}_0 = 0 \)), la velocitat \( \vec{v}(t) \) es calcula amb:\[ \vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a} t \]Substituïm \( \vec{v}_0 = 0 \) i \( t = 3 \, \text{s} \):\[ \vec{v}(3) = 0 + (0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath}) \cdot 3 \]\[ \vec{v}(3) = (0.5 \cdot 3) \hat{\imath} + (-0.25 \cdot 3) \hat{\jmath} = 1.5 \hat{\imath} – 0.75 \hat{\jmath} \, \text{m/s} \]Per tant, el vector velocitat a \( t = 3 \, \text{s} \) és:\[ \vec{v}(3) = 1.5 \hat{\imath} – 0.75 \hat{\jmath} \, \text{m/s} \]

Pas 4: Calcular la posició. La posició \( \vec{r}(t) \) es calcula amb l’equació del moviment uniformement accelerat:\[ \vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2 \]Com que \( \vec{r}_0 = 0 \) i \( \vec{v}_0 = 0 \):\[ \vec{r}(t) = \frac{1}{2} \vec{a} t^2 \]Per \( t = 3 \, \text{s} \):\[ \vec{r}(3) = \frac{1}{2} (0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath}) \cdot (3)^2 \]\[ \vec{r}(3) = \frac{1}{2} (0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath}) \cdot 9 = \frac{9}{2} (0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath}) \]\[ \vec{r}(3) = \frac{9 \cdot 0.5}{2} \hat{\imath} + \frac{9 \cdot (-0.25)}{2} \hat{\jmath} = \frac{4.5}{2} \hat{\imath} – \frac{2.25}{2} \hat{\jmath} = 2.25 \hat{\imath} – 1.125 \hat{\jmath} \, \text{m} \]Per tant, el vector posició a \( t = 3 \, \text{s} \) és:\[ \vec{r}(3) = 2.25 \hat{\imath} – 1.125 \hat{\jmath} \, \text{m} \]

Pas 5: Calcular el mòdul de la posició. El mòdul del vector posició \( |\vec{r}(3)| \) es calcula com:\[ |\vec{r}(3)| = \sqrt{(r_x)^2 + (r_y)^2} \]Substituïm les components \( r_x = 2.25 \), \( r_y = -1.125 \):\[ |\vec{r}(3)| = \sqrt{(2.25)^2 + (-1.125)^2} \]\[ = \sqrt{5.0625 + 1.265625} = \sqrt{6.328125} \]Calculem la seva arrel:\[ \sqrt{6.328125} \approx 2.516 \, \text{m} \]

Resposta final:

• Acceleració:\[ \vec{a} = 0.5 \hat{\imath} – 0.25 \hat{\jmath} \, \text{m/s}^2 \]

• Velocitat:\[ \vec{v}(3) = 1.5 \hat{\imath} – 0.75 \hat{\jmath} \, \text{m/s} \]

• Posició:

• Vector: \( \vec{r}(3) = 2.25 \hat{\imath} – 1.125 \hat{\jmath} \, \text{m} \)

• Mòdul: \( |\vec{r}(3)| \approx 2.52 \, \text{m} \)