Dinàmica d’una Partícula sotmesa a una Força Constant

Una partícula de massa \( m = 2 \, \text{kg} \) es troba inicialment al punt \( \vec{r}(0) = (0, 0) \), amb una velocitat inicial \( \vec{v}(0) = (0, 2) \, \text{m/s} \). A partir del temps \( t = 0 \), actua sobre la partícula una força constant \( \vec{F}(t) = (8, -4) \, \text{N} \). Calculeu: a) Els vectors de posició \( \vec{r}(t) \), velocitat \( \vec{v}(t) \) i acceleració \( \vec{a}(t) \) en funció del temps. b) La posició de la partícula en el temps \( t = 5 \, \text{s} \). c) El temps en què la component de la velocitat en l’eix \( y \) és nul·la. d) L’equació de la trajectòria de la partícula, expressada com \( y \) en funció de \( x \).

Per resoldre aquest problema, analitzarem pas a pas cada apartat. Tenim una partícula de massa \( m = 2 \, \text{kg} \), inicialment al punt \( \vec{r}(0) = (0, 0) \), amb velocitat inicial \( \vec{v}(0) = (0, 2) \, \text{m/s} \). A partir de \( t = 0 \), actua una força constant \( \vec{F}(t) = (8, -4) \, \text{N} \). Anem a calcular els vectors, posicions, temps i la trajectòria sol·licitats.

a) Calcular \( \vec{r}(t) \), \( \vec{v}(t) \) i \( \vec{a}(t) \)

Acceleració \( \vec{a}(t) \): La força és constant, per tant, segons la segona llei de Newton:\[ \vec{a}(t) = \frac{\vec{F}(t)}{m} \] Substituïm \( \vec{F}(t) = (8, -4) \, \text{N} \) i \( m = 2 \, \text{kg} \):\[ \vec{a}(t) = \frac{(8, -4)}{2} = (4, -2) \, \text{m/s}^2 \]Per tant:\[ \vec{a}(t) = (4, -2) \, \text{m/s}^2 \]

Velocitat \( \vec{v}(t) \): Com que l’acceleració és constant, la velocitat es calcula integrant l’acceleració respecte al temps, tenint en compte la velocitat inicial:\[ \vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \int_0^t \vec{a}(t’) \, dt’ \]Com \( \vec{a}(t) = (4, -2) \) és constant:\[ \vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a} \cdot t \]Substituïm \( \vec{v}(0) = (0, 2) \, \text{m/s} \):\[ \vec{v}(t) = (0, 2) + (4, -2) \cdot t = (4t, 2 – 2t) \, \text{m/s} \]Per tant:\[ \vec{v}(t) = (4t, 2 – 2t) \, \text{m/s} \]

Posició \( \vec{r}(t) \): La posició es calcula integrant la velocitat respecte al temps, tenint en compte la posició inicial:\[ \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int_0^t \vec{v}(t’) \, dt’ \]Substituïm \( \vec{v}(t’) = (4t’, 2 – 2t’) \) i \( \vec{r}(0) = (0, 0) \):\[ \vec{r}(t) = (0, 0) + \int_0^t (4t’, 2 – 2t’) \, dt’ \]Integram component per component:

• Component \( x \):\[ x(t) = \int_0^t 4t’ \, dt’ = 4 \cdot \frac{t’^2}{2} \Big|_0^t = 2t^2 \]

• Component \( y \):\[ y(t) = \int_0^t (2 – 2t’) \, dt’ = \left[ 2t’ – t’^2 \right]_0^t = (2t – t^2) – (0 – 0) = 2t – t^2 \]Per tant:\[ \vec{r}(t) = (2t^2, 2t – t^2) \, \text{m} \]

Resum de l’apartat a:\[ \vec{a}(t) = (4, -2) \, \text{m/s}^2 \]\[ \vec{v}(t) = (4t, 2 – 2t) \, \text{m/s} \]\[ \vec{r}(t) = (2t^2, 2t – t^2) \, \text{m} \]

b) On serà la partícula per a \( t = 5 \, \text{s} \)? Utilitzem l’expressió de la posició \( \vec{r}(t) = (2t^2, 2t – t^2) \) i substituïm \( t = 5 \, \text{s} \):- Component \( x \):\[ x(5) = 2 \cdot (5)^2 = 2 \cdot 25 = 50 \, \text{m} \]- Component \( y \):\[ y(5) = 2 \cdot 5 – (5)^2 = 10 – 25 = -15 \, \text{m} \]Per tant, la posició a \( t = 5 \, \text{s} \) és:\[ \vec{r}(5) = (50, -15) \, \text{m} \]

c) Per a quin temps la velocitat a l’eix \( y \) serà nul·la? La velocitat en la direcció \( y \) es pot extreure de \( \vec{v}(t) = (4t, 2 – 2t) \):\[ v_y(t) = 2 – 2t \, \text{m/s} \]Volem trobar el temps \( t \) quan \( v_y(t) = 0 \):\[ 2 – 2t = 0 \]\[ 2t = 2 \]\[ t = 1 \, \text{s} \]Per tant, la velocitat en l’eix \( y \) és nul·la a:\[ t = 1 \, \text{s} \]

d) Equació de la trajectòria de la partícula. Per obtenir l’equació de la trajectòria, hem d’expressar \( y \) en funció de \( x \), eliminant el paràmetre \( t \). Partim de les expressions de la posició:\[ x(t) = 2t^2 \]\[ y(t) = 2t – t^2 \]De \( x(t) \):\[ x = 2t^2 \implies t^2 = \frac{x}{2} \]\[ t = \sqrt{\frac{x}{2}} \quad (\text{com } t \geq 0\text{, prenem la solució positiva}) \]Substituïm \( t \) en \( y(t) \):\[ y = 2t – t^2 \]\[ t = \sqrt{\frac{x}{2}} \]\[ t^2 = \frac{x}{2} \]Substituïm:\[ y = 2 \cdot \sqrt{\frac{x}{2}} – \frac{x}{2} \]Simplifiquem:\[ \sqrt{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2x}}{2} \]\[ y = 2 \cdot \frac{\sqrt{2x}}{2} – \frac{x}{2} = \sqrt{2x} – \frac{x}{2} \]Per tant, l’equació de la trajectòria és:\[ y(x) = \sqrt{2x} – \frac{x}{2} \]Aquesta equació és vàlida per \( x \geq 0 \), ja que \( t \geq 0 \).

Resposta final

a) \[ \vec{a}(t) = (4, -2) \, \text{m/s}^2 \]\[ \vec{v}(t) = (4t, 2 – 2t) \, \text{m/s} \]\[ \vec{r}(t) = (2t^2, 2t – t^2) \, \text{m} \]

b) A \( t = 5 \, \text{s} \):\[ \vec{r}(5) = (50, -15) \, \text{m} \]

c) La velocitat a l’eix \( y \) és nul·la a:\[ t = 1 \, \text{s} \]

d) Equació de la trajectòria:\[ y(x) = \sqrt{2x} – \frac{x}{2} \quad (\text{per } x \geq 0) \]